Làm thế nào để tính toán diện tích của kim tự tháp: cơ sở, bên và đầy đủ?

Khi chuẩn bị cho USE trong toán học, sinh viên phải hệ thống hóa kiến thức về đại số và hình học. Tôi muốn kết hợp tất cả các thông tin đã biết, ví dụ, về cách tính diện tích của kim tự tháp. Và bắt đầu từ chân đế và mặt đối mặt với diện tích toàn bộ bề mặt. Nếu tình hình với các mặt bên là rõ ràng, vì chúng là hình tam giác, cơ sở luôn luôn khác nhau.

Làm thế nào để được khi tìm kiếm các khu vực của các cơ sở của kim tự tháp?

Nó có thể là bất kỳ loại hình nào: từ một tam giác tùy ý đến một n-gon. Và nền tảng này, ngoài sự khác nhau về số góc, có thể là một con số chính xác hoặc không chính xác. Trong các bài tập của nhà trường mà học sinh quan tâm, chỉ những công việc có số liệu đúng ở phần cơ bản mới gặp. Vì vậy, chúng ta sẽ chỉ nói về chúng.

Tam giác phải

Đó là sự cân bằng. Một với tất cả các cạnh bằng nhau và đánh dấu bằng chữ "a". Trong trường hợp này, diện tích của kim tự tháp được tính theo công thức:

S = (a ² * √ 3) / 4.

Quảng trường

Công thức tính diện tích của nó là đơn giản nhất, ở đây "a" lại là mặt:

S = a ² .

Một n-gon thường

Phía cạnh đa giác có cùng ký hiệu. Đối với số góc, sử dụng ký tự Latinh n.

S = (n * a ² ) / (4 * tg (180º / n)).

Tôi nên làm gì khi tính toán diện tích mặt và bề mặt đầy đủ?

Kể từ khi cơ sở có con số đúng, tất cả các khuôn mặt của kim tự tháp bằng nhau. Hơn nữa, mỗi người trong số họ là một tam giác cân, vì các cạnh bên là bằng nhau. Sau đó, để tính diện tích bên cạnh của kim tự tháp, chúng ta cần một công thức bao gồm một số lượng monomials giống hệt nhau. Số lượng các điều khoản được xác định bởi số mặt của căn cứ.

Khu vực của một tam giác cân được tính theo công thức trong đó một nửa sản phẩm của cơ sở nhân với chiều cao. Chiều cao này trong kim tự tháp được gọi là apophema. Tên gọi của nó là "A". Công thức chung cho diện tích bề mặt bên như sau:

S = ½ P * A, trong đó P là chu vi của đáy của kim tự tháp.

Có những tình huống mà các cạnh của đế không được biết, nhưng có các cạnh bên (c) và một góc phẳng ở đỉnh của nó (α). Sau đó, nó được cho là sử dụng một công thức để tính diện tích bên của kim tự tháp:

S = n / 2 * trong ² sin α .

Nhiệm vụ số 1

Điều kiện. Tìm toàn bộ diện tích của kim tự tháp nếu nó có một tam giác đều bằng 4cm, và apophema có giá trị √3 cm.

Giải pháp. Nó bắt đầu với việc tính chu vi của đế. Vì đây là một tam giác thường, sau đó P = 3 * 4 = 12 cm. Kể từ khi được biết đến, chúng ta có thể tính ngay diện tích bề mặt bên ngoài: ½ * 12 * √3 = 6√3 cm ² .

Đối với tam giác ở đáy, ta có giá trị khu vực sau: (4 ² * √ 3) / 4 = 4√3 cm ² .

Để xác định tổng diện tích, cần thêm hai giá trị kết quả: 6√3 + 4√3 = 10√3 cm ² .

Trả lời. 10√3 cm ² .

Nhiệm vụ số 2

Điều kiện . Có một kim tự tháp bốn chữ thường. Chiều dài của cạnh của đế là 7 mm, cạnh bên là 16 mm. Cần phải biết diện tích bề mặt của nó.

Giải pháp. Vì đa giác đa hình và thường, có một hình vuông ở đáy của nó. Đã học được diện tích mặt nền và khuôn mặt, sẽ có thể tính diện tích của kim tự tháp. Công thức cho hình vuông được đưa ra ở trên. Và mặt mặt được biết đến với tất cả các mặt của tam giác. Vì vậy, bạn có thể sử dụng công thức của Geron để tính toán diện tích của chúng.

Các tính toán đầu tiên rất đơn giản và dẫn đến số lượng như vậy: 49 mm2. Đối với giá trị thứ hai, bạn sẽ cần phải tính toán semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Bây giờ chúng ta có thể tính diện tích của tam giác cân: √ (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) ² ) = √2985.9375 = 54.644 mm2. Chỉ có bốn tam giác như vậy, vì vậy khi tính số cuối cùng, bạn cần nhân nó với 4.

Hóa ra: 49 + 4 * 54.644 = 267.576 mm2.

Trả lời . Giá trị mong muốn là 267.576 mm2.

Nhiệm vụ số 3

Điều kiện . Trong một kim tự tháp tứ giác thông thường, cần tính diện tích. Nó biết phía bên của hình vuông - 6 cm và chiều cao - 4 cm.

Giải pháp. Cách đơn giản nhất là sử dụng công thức với sản phẩm của chu vi và apophema. Giá trị đầu tiên rất dễ tìm. Thứ hai là một chút phức tạp hơn.

Tôi sẽ phải nhớ định lý Pythagore và xem xét một tam giác hình chữ nhật. Nó được hình thành bởi chiều cao của kim tự tháp và apophema, đó là sự huyền phù. Chân thứ hai bằng một nửa phía của hình vuông, vì chiều cao của đa giác nằm xuống giữa nó.

Khẩu hiệu mong muốn (áp dụng cạnh huyền của một tam giác vuông phải) là √ (3 ² + 4 ² ) = 5 (cm).

Bây giờ chúng ta có thể tính được lượng yêu cầu: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ² ).

Trả lời. 96 cm ² .

Nhiệm vụ số 4

Điều kiện. Cho một kim tự tháp lục giác thông thường. Các cạnh của đế của nó là 22 mm, xương sườn bên là 61 mm. Khu vực bề mặt của đa giác này là gì?

Giải pháp. Các đối số trong nó giống như những gì được mô tả trong Problem 2. Chỉ có một kim tự tháp với một hình vuông ở phía dưới, và bây giờ nó là một hình lục giác.

Bước đầu tiên là tính diện tích cơ sở theo công thức trên: (6 * 22 ² ) / (4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 cm ² .

Bây giờ cần biết nửa chu vi của một tam giác cân, đó là một mặt bên. (22 + 61 * 2): 2 = 72 cm.Nó vẫn theo công thức của Heron để tính diện tích của mỗi tam giác đó, và nhân nó bằng sáu và thêm nó vào một trong số đó xuất hiện cho các cơ sở.

Tính toán sử dụng công thức Heron: √ (72 * (72-22) * (72-61) ² ) = √435600 = 660 cm ² . Các phép tính sẽ cho diện tích mặt: 660 * 6 = 3960 cm ² . Nó vẫn còn để thêm chúng để tìm ra toàn bộ bề mặt: 5217.47≈5217 cm ² .

Trả lời. Các căn cứ là 726,13 cm2, bề mặt mặt đất là 3960 cm ² , tổng diện tích là 5217 cm ² .