Tổng các góc của một tam giác. Định lý về tổng các góc của một tam giác

Tam giác là một đa giác có ba mặt (ba góc). Thông thường, phần ký hiệu bằng chữ nhỏ chữ in hoa, đại diện cho đỉnh đối diện tương ứng. Trong bài viết này, chúng ta hãy nhìn vào các loại hình dạng hình học, định lý, trong đó xác định những gì là bằng tổng các góc của một tam giác.

Loại góc độ lớn nhất

Các loại sau đây của đa giác với ba đỉnh:

• cấp tính góc cạnh, trong đó tất cả các góc sắc nét;
• hình chữ nhật có một góc vuông, phía hình thành nó, nhắc đến chân, và một bên mà được xử lý đối diện với góc vuông được gọi là cạnh huyền;
• tù khi một góc là tù ;
• cân, mà hai bên đều bình đẳng, và họ được gọi là bên, và thứ ba - một hình tam giác với một cơ sở;
• giác đều có ba mặt bằng.

tính

Phân bổ các thuộc tính cơ bản mà là đặc trưng của từng loại hình tam giác:

• ngược lại phía lớn nhất là góc luôn lớn, và ngược lại;
• là góc bằng nhau đối diện với bên bình đẳng lớn, và ngược lại;
• trong bất kỳ hình tam giác có hai góc nhọn;
• góc ngoài lớn hơn bất kỳ góc nội sung không liền kề;
• tổng của hai góc bất kỳ luôn luôn là ít hơn 180 độ;
• góc ngoài bằng tổng của hai góc khác, mà không mezhuyut với anh ta.

Định lý về tổng các góc của một tam giác

Định lý khẳng định rằng nếu bạn cộng tất cả các góc của hình dạng hình học, nằm trong mặt phẳng Euclide, sau đó tổng hợp của họ sẽ được 180 độ. Chúng ta hãy cố gắng chứng minh định lý này.

Hãy để chúng ta có một hình tam giác tùy ý với đỉnh KMN. Trên đầu M sẽ tổ chức song song trực tiếp vào dòng KN (thậm chí dòng này được gọi là Euclid). Cần lưu ý điểm A sao cho điểm K và A được bố trí từ khía cạnh khác nhau của dòng MN. Chúng tôi nhận được cùng một góc của AMS và MUF, trong đó, như nội thất, nằm ngang để tạo thành giao nhau MN kết hợp với CN trực tiếp và MA, mà là song song. Từ này nó sau đó tổng các góc của tam giác, nằm ở đỉnh của M và N là tương đương với kích thước của góc CMA. Cả ba góc bao gồm một khoản tiền bằng với tổng các góc của KMA và MCS. Kể từ khi dữ liệu là góc nội bộ tương đối mặt đường song song CL và CM MA tại giao nhau, tổng của chúng là 180 độ. Điều này chứng tỏ các định lý.

kết quả

Trong số trên định lý trên ngụ ý hệ quả sau: mỗi tam giác có hai góc nhọn. Để chứng minh điều này, chúng ta hãy giả định rằng con số hình học này chỉ có một góc nhọn. Bạn cũng có thể giả định rằng không ai trong số các góc không sắc nét. Trong trường hợp này phải có ít nhất hai góc, độ lớn trong số đó là bằng hoặc lớn hơn 90 độ. Nhưng sau đó tổng các góc lớn hơn 180 độ. Nhưng điều này không thể được, vì theo các góc định lý tổng của một tam giác bằng 180 ° - không hơn, không kém. Đó là những gì đã được chứng minh.

Sở hữu các góc bên ngoài

tổng các góc của một tam giác, đó là bên ngoài là gì? Câu trả lời cho câu hỏi này có thể thu được bằng cách áp dụng một trong hai cách. Đầu tiên là bạn cần phải tìm tổng các góc độ, mà được lấy một tại mỗi đỉnh, tức là ba góc. Thứ hai ngụ ý rằng bạn cần phải tìm tổng số sáu góc tại đỉnh. Để đối phó với sự khởi đầu của phương án thứ. Do đó, tam giác bao gồm sáu góc ngoài - ở phía trên cùng của mỗi hai. Mỗi cặp có góc bằng nhau giữa bản thân, vì chúng là dọc:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Bên cạnh đó, nó được biết rằng góc ngoài của một tam giác bằng tổng của hai bên, mà không phải là mezhuyutsya với anh ta. do đó,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Từ này có vẻ là tổng các góc bên ngoài, mà được lấy từng người một gần nhau đỉnh sẽ bằng:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

Căn cứ vào thực tế là tổng các góc bằng 180 độ, nó có thể được lập luận rằng ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Điều này có nghĩa rằng ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Nếu tùy chọn thứ hai được sử dụng, tổng số sáu góc độ sẽ tương ứng lớn hơn hai lần. Tức là tổng các góc của một tam giác bên ngoài sẽ là:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

tam giác vuông

là gì bằng với tổng các góc của một tam giác vuông, là hòn đảo? Câu trả lời là, một lần nữa, từ Định lý, trong đó nêu rằng các góc của một tam giác thêm lên đến 180 độ. Một âm thanh khẳng định của chúng tôi (tài sản) như sau: trong một tam giác vuông góc sắc nét thêm lên đến 90 độ. Chúng tôi chứng minh tính xác thực của nó. Let there be tam giác cho KMN, mà ∟N = 90 °. Nó là cần thiết để chứng minh rằng ∟K ∟M = + 90 °.

Như vậy, theo định lý về tổng các góc ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. Trong điều kiện này người ta nói rằng ∟N = 90 °. Hóa ra ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Đó là ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Đó là những gì chúng ta phải chứng minh.

Ngoài những đặc tính trên của một tam giác vuông, bạn có thể thêm những:

• góc, nằm chống chân được sắc nét;
• cạnh huyền của tam giác lớn hơn bất kỳ chân;
• tổng các chân hơn so với cạnh huyền;
• chân của tam giác, nằm đối diện với góc 30 độ, một nửa của cạnh huyền, nghĩa là tương đương với một nửa của mình.

Như một thuộc tính của hình dạng hình học có thể phân biệt lý Pythagore. Cô lập luận rằng trong một tam giác với một góc 90 độ (hình chữ nhật), tổng của các ô vuông của chân bằng bình phương của cạnh huyền.

Tổng số góc của một tam giác cân

Trước đó chúng tôi nói rằng một tam giác cân là một đa giác với ba đỉnh, chứa hai bên bằng nhau. Khách sạn này được biết đến con số hình học: các góc ở đáy bằng nhau. Hãy để chúng tôi chứng minh điều này.

Hãy tam giác KMN, đó là giác cân, SC - cơ sở của nó. Chúng tôi được yêu cầu phải chứng minh rằng ∟K = ∟N. Vì vậy, chúng ta hãy giả sử rằng MA - KMN là phân giác của tam giác của chúng tôi. ICA tam giác với dấu hiệu đầu tiên của sự bình đẳng là tam giác MNA. Cụ thể, bởi giả thuyết cho rằng CM = NM, MA là một khía cạnh chung, ∟1 = ∟2, vì MA - phân giác này. Sử dụng bình đẳng của hai tam giác, người ta có thể tranh luận rằng ∟K = ∟N. Do đó, định lý được chứng minh.

Nhưng chúng ta quan tâm, tổng các góc của một tam giác (cân) là gì. Bởi vì trong lĩnh vực này nó không có tính năng của nó, chúng ta sẽ bắt đầu từ định lý đã thảo luận trước đó. Nghĩa là, chúng ta có thể nói rằng ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, hoặc 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (như ∟K = ∟N). Điều này sẽ không chứng minh tài sản, như định lý về tổng các góc của một tam giác đã được chứng minh trước đó.

Ngoại trừ các tài sản được coi là trong các góc của một tam giác, cũng có báo cáo quan trọng như:

• trong một chiều cao tam giác đều, vốn đã được hạ xuống đến cơ sở, đồng thời là đường trung bình của góc mà là giữa các bên bình đẳng và trục đối xứng của cơ sở của mình;
• trung bình (phân giác, độ cao), được tổ chức để hai bên của một con số hình học, đều bình đẳng.

tam giác đều

Nó cũng được gọi là đúng, là hình tam giác, mà đều bình đẳng cho tất cả các bên. Và do đó cũng bình đẳng và góc. Mỗi trong số đó là 60 độ. Chúng ta hãy chứng minh tài sản này.

Chúng ta hãy giả sử rằng chúng ta có một KMN tam giác. Chúng ta biết rằng KM = HM = KH. Điều này có nghĩa rằng, theo tài sản của các góc nằm ở đáy trong một tam giác đều ∟K = ∟M = ∟N. Kể từ đó, theo tổng các góc của một tam giác Định lý ∟K + ∟M ∟N = + 180 °, sau đó x 3 = 180 ° ∟K hoặc ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Như vậy, sự khẳng định được chứng minh. Như đã thấy từ những bằng chứng trên dựa trên định lý trên, tổng các góc của một tam giác đều, như tổng các góc của tam giác bất kỳ khác là 180 độ. Một lần nữa chứng minh định lý này là không cần thiết.

Hiện vẫn còn một số tính chất đặc trưng của một tam giác đều:

• chiều cao trung bình phân giác trong một hình hình học giống hệt nhau, và thời gian của họ được tính bằng (x √3): 2;
• nếu đa giác này circumscribing vòng tròn, sau đó bán kính sẽ bằng (x √3): 3;
• nếu ghi trong một vòng tròn tam giác đều, bán kính của nó sẽ là (x √3): 6;
• diện tích các hình hình học được tính theo công thức: (a2 x √3): 4.

tam giác tù

Theo định nghĩa, một tam giác tù, góc cạnh, một trong các góc của nó là từ 90 đến 180 độ. Nhưng với thực tế là hai góc khác của hình dạng hình học sắc nét, có thể kết luận rằng họ không vượt quá 90 độ. Do đó, tổng các góc của một định lý tam giác làm việc trong việc tính toán tổng các góc trong một tam giác tù. Vì vậy, chúng tôi có thể yên tâm nói, dựa trên định lý trên mà tổng các góc tù của một tam giác là 180 độ. Một lần nữa, định lý này không cần phải chứng minh.