Biến đổi Fourier. Nhanh chóng biến đổi Fourier. Đổi Fourier rời rạc

Biến đổi Fourier - chuyển đổi, kết hợp một chức năng nhất định của một biến thực. Thao tác này được thực hiện mỗi khi chúng ta nhận thức những âm thanh khác nhau. Tai sản xuất tự động "tính toán", mà thực hiện ý thức của chúng ta có thể chỉ sau khi kiểm tra bộ phận của toán học cao hơn. cơ quan thính giác trong một biến đổi con người xây dựng, trong đó âm thanh (chuyển động rung động thông thường của các hạt trong môi trường đàn hồi, mà tuyên truyền dưới dạng sóng trong môi trường rắn, lỏng hoặc khí) được cung cấp trong một loạt các giá trị liên tiếp mức âm lượng của nhạc chuông độ cao khác nhau. Sau đó, não bộ biến các thông tin vào tất cả những âm thanh quen thuộc.

Toán học biến đổi Fourier

Chuyển đổi sóng âm thanh hoặc các quá trình rung khác (bằng cách phát xạ ánh sáng và thủy triều đại dương và chu kỳ xuất sắc hoặc năng lượng mặt trời) có thể được thực hiện và bằng phương tiện của phương pháp toán học. Vì vậy, sử dụng những kỹ thuật này, các chức năng có thể được mở rộng bằng cách giới thiệu quá trình rung động thiết lập các thành phần hình sin, ví dụ: đường cong lượn sóng mà đi từ tối thiểu đến tối đa và sau đó một lần nữa ở mức tối thiểu, giống như sóng biển. Fourier chuyển đổi - chuyển đổi chức năng trong đó mô tả các giai đoạn hoặc biên độ của mỗi hình sin tương ứng với một tần số cụ thể. Giai đoạn là một điểm khởi đầu của đường cong, và biên độ - chiều cao của nó.

Biến đổi Fourier (ví dụ được trình bày trong bức ảnh) là một công cụ rất mạnh mẽ, được sử dụng trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học. Trong một số trường hợp, nó được sử dụng như một giải pháp phương trình khá phức tạp trong đó mô tả các quá trình năng động xảy ra dưới ảnh hưởng của ánh sáng, nhiệt hoặc năng lượng điện. Trong trường hợp khác, nó cho phép bạn xác định các thành phần thường xuyên trong dạng sóng phức tạp, vì điều này có thể là sự thật để giải thích những quan sát thực nghiệm khác nhau trong ngành hóa học, y học và thiên văn học.

thông tin lịch sử

Người đầu tiên áp dụng phương pháp này là nhà toán học Pháp Zhan Batist Fure. Chuyển đổi, sau đó mang tên ông, ban đầu được dùng để mô tả cơ chế dẫn truyền nhiệt. Fourier suốt cuộc đời trưởng thành của mình tham gia vào nghiên cứu các tính chất của nhiệt. Ông đã đóng góp to lớn vào lý thuyết toán học của việc xác định nguồn gốc của phương trình đại số. Fourier là một giáo sư phân tích tại Ecole Polytechnique, thư ký của Viện Ai Cập, là dịch vụ triều đình, mà gây ra một sự khuấy động tại thời điểm xây dựng các con đường đến Turin (dưới sự lãnh đạo của ông đã để ráo nước của hơn 80 ngàn cây số vuông của đầm lầy sốt rét). Tuy nhiên, tất cả các hoạt động này đã không ngăn chặn các nhà khoa học tham gia vào các phân tích toán học. Năm 1802 nó được bắt nguồn một phương trình mô tả sự truyền nhiệt trong chất rắn. Năm 1807, nhà khoa học phát hiện ra một phương pháp để giải quyết phương trình này, mà được gọi là "biến đổi Fourier".

phân tích dẫn nhiệt

Các nhà nghiên cứu đã sử dụng một phương pháp toán học để mô tả cơ chế dẫn truyền nhiệt. Một ví dụ thuận tiện, trong đó có khó khăn trong việc tính toán là công tác tuyên truyền năng lượng nhiệt bởi một vòng sắt, một phần chìm trong lửa. Để thực hiện thí nghiệm Fourier đỏ phần nóng của chiếc nhẫn và chôn ông trong cát mịn. Sau đó, các phép đo nhiệt độ thực hiện trên phần đối diện đó. Ban đầu, sự phân bố nhiệt không đều: một phần của chiếc nhẫn - lạnh, và người kia - nóng, giữa các khu vực có thể quan sát một gradient nhiệt độ sắc nét. Tuy nhiên, trong sự phân bố nhiệt trên bề mặt kim loại, nó càng trở nên thống nhất. Vì vậy, ngay sau đó, quá trình này có dạng của một sóng sin. đồ đầu tiên tăng dần và cũng có thể giảm thông suốt, chính xác quy luật biến đổi của cosin hay hàm sin. Sóng dần dần cân bằng và kết quả là nhiệt độ trở nên thống nhất trên toàn bộ bề mặt của chiếc nhẫn.

Tác giả của phương pháp này giả định rằng sự phân bố ban đầu là khá bất thường có thể được chia ra thành một số sóng sin tiểu học. Mỗi trong số họ sẽ có giai đoạn của nó (vị trí ban đầu) và nhiệt độ tối đa của nó. Vì vậy, mỗi thay đổi thành phần như vậy từ tối thiểu đến tối đa và trở lại để hoàn thành cuộc cách mạng xung quanh lần vòng số nguyên. Thành phần có một khoảng thời gian được gọi là điều hòa cơ bản và giá trị với hai hoặc nhiều thời gian - thứ hai và vân vân. Ví dụ, một hàm toán học mô tả nhiệt độ tối đa, giai đoạn hoặc vị trí được gọi là biến đổi Fourier của hàm phân phối. Nhà khoa học đưa một thành phần duy nhất đó là khó khăn để mô tả toán học, cho các công cụ dễ sử dụng - hàng sin và cosin, trong số tiền của cho sự phân bố ban đầu.

Bản chất của việc phân tích

Áp dụng phân tích này để chuyển đổi phân bố nhiệt trên đối tượng rắn, có một hình dạng hình khuyên, một nhà toán học lý luận rằng thời gian ngày càng cao của các thành phần hình sin dẫn đến giảm xóc nhanh chóng của nó. Điều này được thấy rõ trên những giai điệu chính và thứ hai. Nhiệt độ thức đạt gấp đôi so với giá trị tối đa và tối thiểu trong một lần, và trong lần đầu tiên - chỉ một lần. Nó chỉ ra rằng khoảng cách đi du lịch bằng nhiệt trong sóng hài bậc hai bằng một nửa của lõi. Bên cạnh đó, gradient của nửa thứ hai cũng sẽ dốc hơn so với lần đầu tiên. Vì vậy, kể từ khi có thông lượng nhiệt dữ dội hơn đi góa phụ khoảng cách tối thiểu, thì điều này sẽ được damped điều hòa nhanh hơn so với chính bốn lần, như một hàm của thời gian. Trong quá trình sau sẽ nhanh hơn. Nhà toán học tin rằng phương pháp này cho phép chúng ta tính toán quá trình phân phối ban đầu của nhiệt độ theo thời gian.

người đương thời gọi

Biến đổi Fourier thuật toán đã trở thành một thách thức đối với những nền tảng lý thuyết toán học vào thời điểm đó. Vào đầu thế kỷ XIX, hầu hết các nhà khoa học nổi tiếng, trong đó có Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre và Biot đã không chấp nhận sự khẳng định của ông rằng nhiệt độ của phân phối ban đầu bị phân hủy thành các thành phần theo hình thức sóng cơ bản và tần số cao hơn. Tuy nhiên, Viện Hàn lâm Khoa học không thể bỏ qua các kết quả thu được nhà toán học, và trao cho ông giải thưởng cho các lý thuyết về dẫn nhiệt của pháp luật, cũng như tiến hành so sánh nó với các thí nghiệm vật lý. Trong cách tiếp cận Fourier, phản đối chính là một thực tế rằng một hàm liên tục được đại diện bởi một khoản một số chức năng sin, đó là liên tục. Sau khi tất cả, họ mô tả các dòng bursting thẳng và cong. nhà khoa học hiện đại chưa bao giờ gặp phải một tình huống như vậy, khi các chức năng liên tục được mô tả bởi sự kết hợp liên tục, chẳng hạn như bậc hai, tuyến tính, sin hoặc triển lãm. Trong trường hợp một nhà toán học đã đúng trong những khẳng định của ông, tổng của một chuỗi vô hạn của hàm lượng giác nên được giới hạn tốc độ chính xác. Trong khi tuyên bố như vậy có vẻ ngớ ngẩn. Tuy nhiên, bất chấp những nghi ngờ của một số nhà nghiên cứu (ví dụ như Claude Navier, Sofi Zhermen) mở rộng phạm vi nghiên cứu và đưa họ ra khỏi việc phân tích phân phối nhiệt. Một toán học, trong khi đó, vẫn tiếp tục phải chịu đựng những câu hỏi liệu một khoản một số chức năng sin được giảm xuống một đại diện chính xác của bùng nổ.

lịch sử 200 năm

Lý thuyết này đã phát triển hơn hai thế kỷ, ngày nay nó cuối cùng đã được hình thành. Với sự giúp đỡ của các chức năng không gian hoặc thời gian được chia thành các thành phần hình sin có tần số, pha và biên độ. Việc chuyển đổi này là thu được bằng hai phương pháp toán học khác nhau. Việc đầu tiên của họ được sử dụng trong trường hợp khi nguồn là một hàm liên tục, và lần thứ hai - trong trường hợp nó được đại diện bởi một đa số thay đổi cá nhân rời rạc. Nếu biểu thức thu được từ các giá trị, được định nghĩa trong khoảng thời gian rời rạc, nó có thể được chia thành nhiều rời rạc tần số sin biểu thức - từ mức thấp nhất và sau đó tăng lên gấp đôi, gấp ba, và vân vân phía trên căn bản. Số tiền này được gọi là chuỗi Fourier. Nếu biểu thức ban đầu đặt giá trị của mỗi số thực, nó có thể được chia nhỏ thành nhiều hình sin tất cả các tần số có thể. Nó được gọi là một Fourier không thể thiếu, và quyết định ám chỉ sự biến đổi của hàm không thể thiếu. Không phụ thuộc vào phương pháp để đạt được chuyển đổi, đối với mỗi tần số nên chỉ ra hai con số: biên độ và tần số. Những giá trị này được thể hiện dưới dạng đĩa đơn số phức tạp. Biểu hiện biến phức tạp lý thuyết cùng với sự biến đổi Fourier để thực hiện các tính toán cho phép các nhà thiết kế của mạch điện khác nhau, việc phân tích các dao động cơ học, nghiên cứu về cơ chế truyền sóng và khác.

Biến đổi Fourier ngày nay

Ngày nay, việc nghiên cứu quá trình này về cơ bản nắm để tìm kiếm các phương pháp hiệu quả cho quá trình chuyển đổi từ chức năng để chuyển đổi nó trở lại trong tâm trí. Giải pháp này được gọi là Fourier trực tiếp và ngược lại biến đổi. có nghĩa là gì? Để xác định không thể thiếu và thực hiện một Fourier trực tiếp chuyển đổi, bạn có thể sử dụng các phương pháp toán học, nhưng bạn có thể phân tích. Mặc dù thực tế rằng khi chúng được sử dụng trong thực tế có một số khó khăn, hầu hết các tích đã được tìm thấy và nhập vào sổ tay toán học. Với biểu hiện sự giúp đỡ của các phương pháp số có thể được tính toán, hình dạng của mà là dựa trên các dữ liệu thực nghiệm, một chức năng mà tích phân trong các bảng đang mất tích, và họ rất khó để tưởng tượng trong một hình thức phân tích.

Trước khi sự ra đời của các tính toán kỹ thuật máy tính biến đổi như vậy đã rất tẻ nhạt, họ yêu cầu thực hiện thủ công của một số lượng lớn các phép tính số học mà phụ thuộc vào số lượng các điểm mà mô tả các hàm sóng. Để tạo điều kiện cho việc giải quyết ngày hôm nay, có những chương trình đặc biệt, cho phép thực hiện mới phương pháp phân tích. Vì vậy, trong năm 1965, Dzheyms Kuli và Dzhon Tyuki tạo phần mềm mà trở nên nổi tiếng như "Fast Fourier Transform". Nó giúp tiết kiệm thời gian của việc tính toán bằng cách giảm số phép nhân trong việc phân tích các đường cong. "Fast Fourier Transform" Phương pháp này dựa trên cách chia đường cong thành một số lượng lớn các giá trị mẫu thống nhất. Theo đó, số lượng các phép nhân được giảm một nửa đồng giảm số lượng các điểm.

Áp dụng biến đổi Fourier

Quá trình này được sử dụng trong các lĩnh vực khác nhau: Trong lý thuyết số, vật lý, xử lý tín hiệu, tổ hợp, lý thuyết xác suất, mật mã, thống kê, hải dương học, quang học, âm học, và hình học khác. khả năng phong phú cho việc sử dụng nó được dựa trên một số tính năng hữu ích, được gọi là "tính chất của sự biến đổi Fourier." Chúng ta hãy xem xét chúng.

1. Chức năng chuyển đổi là một toán tử tuyến tính và một bình thường tương ứng là đơn nhất. Khách sạn này được gọi là định lý Parseval, hoặc trong trường hợp tổng quát, định lý Plansherelja hoặc Pontrjagin nhị nguyên.

2. Việc chuyển đổi có thể đảo ngược. Hơn nữa, kết quả ngược lại là hình dạng tương tự đáng kể như trong trực tiếp giải quyết.

3. Các biểu thức cơ bản sin là chức năng khác biệt của riêng mình. Điều này có nghĩa rằng đại diện như thay đổi phương trình tuyến tính với hệ số không đổi trong một đại số thông thường.

4. Theo định lý "chập", quá trình này tạo ra một hoạt động phức tạp trong nhân tiểu.

5. rời rạc Fourier Transform thể được thiết kế một cách nhanh chóng trên một máy tính sử dụng phương pháp "nhanh".

Các biến thể của biến đổi Fourier

1. Thông thường thuật ngữ được dùng để chỉ một sự thay đổi liên tục, cung cấp bất kỳ biểu hiện bậc hai khả tích như là tổng của biểu thức hàm mũ phức tạp với tần số góc cụ thể và biên độ. Loài này có hình thức khác nhau, có thể là hệ số hằng số khác nhau. Phương pháp liên tục bao gồm một bảng chuyển đổi, có thể được tìm thấy trong cuốn sổ tay toán học. Một trường hợp tổng quát là chuyển đổi phân đoạn, trong đó quá trình này có thể được nâng lên với sức mạnh thực mong muốn.

2. Phương pháp liên tục là một sự tổng quát của kỹ thuật trước đây của Fourier loạt định nghĩa cho bất kỳ chức năng tuần hoàn hoặc biểu thức, trong đó tồn tại trong một khu vực hạn chế và đại diện cho họ như một loạt các xoang.

3. rời rạc biến đổi Fourier. Phương pháp này được sử dụng trong máy tính để tính toán khoa học và xử lý tín hiệu kỹ thuật số. Để thực hiện kiểu này tính toán bắt buộc phải có một chức năng xác định trên một tập hợp rời rạc của điểm cá nhân, khu vực định kỳ hoặc hạn chế thay vì tích phân Fourier liên tục. Tín hiệu chuyển đổi trong trường hợp này được biểu diễn dưới dạng một khoản xoang. Việc sử dụng phương pháp "nhanh" cho phép việc sử dụng các giải pháp kỹ thuật số cho tất cả các mục đích thực tế.

4. Cửa sổ biến đổi Fourier là một cái nhìn tổng quát của phương pháp cổ điển. Không giống như các giải pháp tiêu chuẩn khi phổ tín hiệu được sử dụng, được thực hiện trong phạm vi đầy đủ về sự tồn tại của biến này là quan tâm đặc biệt ở đây là chỉ sự phân bố tần số địa phương trong khi duy trì các biến ban đầu (thời gian).

5. Fourier hai chiều biến đổi. Phương pháp này được sử dụng để làm việc với mảng hai chiều của dữ liệu. Trong trường hợp này, việc chuyển đổi được thực hiện theo một hướng, và sau đó - trong khác.

phần kết luận

Ngày nay, phương pháp Fourier được cố thủ vững chắc trong các lĩnh vực khác nhau của khoa học. Ví dụ, năm 1962 nó đã mở hình dạng của chuỗi xoắn kép DNA sử dụng phân tích Fourier kết hợp với nhiễu xạ X-ray. tinh gần đây tập trung vào sợi DNA, kết quả là một hình ảnh được thu được bằng nhiễu xạ, ghi lại trên phim. Bức ảnh này cung cấp thông tin về giá trị của biên độ bằng cách sử dụng biến đổi Fourier để cấu trúc tinh thể này. dữ liệu giai đoạn thu được bằng cách so sánh các loại thẻ ADN nhiễu xạ với thẻ mà thu được trong việc phân tích cấu trúc hóa học tương tự. Kết quả là, các nhà sinh học phục hồi cấu trúc tinh thể - chức năng ban đầu.

Biến đổi Fourier đóng một vai trò rất lớn trong việc nghiên cứu vũ trụ, vật lý của vật liệu bán dẫn và plasma, âm lò vi sóng, hải dương học, radar, địa chấn và kiểm tra y tế.