Số học là gì? định lý cơ bản của số học. số học nhị phân

số học là gì? Khi loài người bắt đầu sử dụng số điện thoại và làm việc với họ? Trong trường hợp được nguồn gốc của khái niệm hàng ngày như con số, phân số, trừ, cộng và phép nhân, người đó đã làm cho một bộ phận không thể thiếu trong cuộc sống và quan điểm của mình? đầu óc Hy Lạp ngưỡng mộ khoa học như toán học, số học và hình học, như một bản giao hưởng tuyệt đẹp của logic của con người.

Có lẽ toán học là không sâu như các ngành khoa học khác, nhưng điều gì sẽ xảy ra với họ, người ta quên đi những bảng cửu chương tiểu học? Quen thuộc với chúng ta tư duy logic, sử dụng số, phân số, và các công cụ khác để cho mọi người một thời gian khó khăn, và trong một thời gian dài là không có sẵn cho tổ tiên của chúng tôi. Trong thực tế, trước sự phát triển của số học không khu vực của tri thức con người là không thực sự khoa học.

Số học - Toán học là bảng chữ cái

Số học - khoa học về con số, mà bất kỳ cá nhân bắt đầu quen với thế giới hấp dẫn của toán học. Theo lời của M. V. Lomonosov, số học - đây là cổng học tập, mở đường cho chúng ta Miropoznanie. Tuy nhiên, ông Đúng vậy, là tri thức của thế giới có thể được tách ra từ các kiến thức về chữ cái và con số, toán học và ngôn luận? Có lẽ trong những ngày cũ, nhưng không phải trong thế giới hiện đại, nơi mà sự phát triển nhanh chóng của khoa học và công nghệ làm luật riêng của nó.

Từ "số học" (Gk. "Arifmos") có nguồn gốc từ tiếng Hy Lạp, có nghĩa là "số". Nó xem xét số lượng và tất cả những gì có thể được liên kết với chúng. Đây là thế giới của những con số: hoạt động khác nhau về số lượng, quy tắc số học, các nhiệm vụ có liên quan đến các nhân, trừ, và vân vân ..

Nó thường được chấp nhận rằng bước đầu tiên là Toán số học và cơ sở vững chắc cho các phần của nó phức tạp hơn, chẳng hạn như đại số, phân tích toán học, toán học cao hơn và t. D.

Đối tượng chính của số học

Cơ sở số học - là một số nguyên, tài sản và pháp luật được coi là số học cao nhất hoặc lý thuyết số. Trong thực tế, cách tiếp cận đúng đắn được đưa vào xem xét một đơn vị nhỏ như vậy, như một số tự nhiên phụ thuộc vào sức mạnh của tòa nhà - toán học.

Do đó, câu hỏi đó là số học, câu trả lời rất đơn giản: đó là khoa học về con số. Vâng, về bình thường bảy, chín, và tất cả các cộng đồng đa dạng này. Và cũng giống như tốt, và những câu thơ tầm thường nhất có thể không viết mà không cần bảng chữ cái cơ bản, mà không cần số học không thể giải quyết, ngay cả nhiệm vụ cơ bản. Đó là lý do tại sao tất cả các ngành khoa học đã tiến bộ chỉ sau khi sự phát triển của số học và toán học, là chủ yếu một bộ giả định.

Số học - khoa học-ma

khoa học tự nhiên hay một phantom - số học là gì? Trong thực tế, như các nhà triết học Hy Lạp cổ đại lý, không có số, không có số liệu trên thực tế không tồn tại. Nó chỉ là một bóng ma, mà được tạo ra trong suy nghĩ của con người khi xem môi trường và các quy trình của nó. Trong thực tế, số lượng là bao nhiêu? Không có nơi nào xung quanh chúng ta không thấy bất cứ điều gì như thế có thể gọi là số lượng, đúng hơn, số lượng - đó là một cách để khám phá thế giới của tâm trí con người. Có lẽ nghiên cứu này chúng tôi có bên mình? Nhà triết học tranh luận về vấn đề này trong nhiều thế kỷ liên tiếp, vì vậy để đưa ra một câu trả lời đầy đủ, chúng tôi không thực hiện. Dù bằng cách nào, số học rất vững chắc có thể mất vị trí của mình trong thế giới hiện đại không ai có thể được xem xét về mặt xã hội thích nghi mà không có kiến thức về cơ sở của nó.

Như đã có một số nguyên dương

Tất nhiên, đối tượng chính trong đó hoạt động số học, - số tự nhiên như 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... vv Cộng của các số tự nhiên là kết quả của các chi phí của đối tượng thông thường, chẳng hạn như con bò trong một đồng cỏ. Tuy nhiên, định nghĩa của "rất nhiều" hoặc "một chút" khi một cái gì đó đã ngừng tổ chức nhân dân, và phải phát minh ra kỹ thuật đếm phức tạp hơn.

Nhưng đột phá thực sự đến khi tâm trí con người đã đạt đến điểm đó có thể là một và cùng một số "hai" để chỉ định và 2 kg, và 2 gạch và 2 phần. Thực tế là nó là cần thiết để trừu tượng từ các hình thức, đặc điểm và ý nghĩa của các đối tượng, sau đó chúng tôi có thể sản xuất một số hành động với các đối tượng này theo hình thức số nguyên dương. Do đó sinh ra số học số, đó là tiếp tục phát triển và mở rộng trong việc chiếm một vị trí trong xã hội.

Như vậy trong chuyên sâu các khái niệm về số, như bằng không và số âm, phân số, số đề cập đến những con số trong những cách khác, có một lịch sử phong phú và thú vị của sự phát triển.

Số học và thực tiễn Ai Cập

Hai bạn đồng hành của con người cổ đại trong việc nghiên cứu trên thế giới và giải quyết các vấn đề hàng ngày - số học này và hình học.

Người ta tin rằng lịch sử của số học có nguồn gốc từ phương Đông cổ đại: Ấn Độ, Ai Cập, Babylon và Trung Quốc. Vì vậy, Rhind giấy cói nguồn gốc Ai Cập (đặt tên như vậy bởi vì cùng tên thuộc chủ sở hữu), có niên đại từ thế kỷ XX. BC, ngoài dữ liệu quan trọng khác bao gồm việc mở rộng một phần nhỏ trong số tiền của phân số với mẫu số khác nhau và tử số bằng một.

Ví dụ: = 1/60 + 2/73 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Nhưng ý nghĩa của một phân hủy phức tạp như vậy là gì? Thực tế là phương pháp Ai Cập không tha thứ trừu tượng suy nghĩ về những con số, trái lại, các tính toán được thực hiện chỉ dành cho mục đích thực tế. Đó là, người Ai Cập sẽ được tham gia vào kinh doanh như tính toán, chỉ duy nhất để xây dựng lăng mộ, ví dụ. Nó là cần thiết để tính toán chiều dài của cấu trúc vây, và nó làm cho một người ngồi cói. Như có thể thấy, sự tiến bộ của Ai Cập trong các tính toán được gọi là, chứ không phải đồ sộ, xây dựng, chứ không phải là một tình yêu của khoa học.

Vì lý do này, tính toán được tìm thấy trên giấy cói, không thể gọi là phản xạ về chủ đề phân số. Nhiều khả năng, nó là một sự chuẩn bị thiết thực, giúp để giải quyết thêm vấn đề với phân số. Người Ai Cập cổ đại không biết bảng cửu chương, tạo ra một tính toán khá dài, trải ra thành nhiều nhiệm vụ nhỏ. Có lẽ đây là một trong những nhiệm vụ nhỏ. Nó rất dễ dàng để nhận thấy rằng các tính toán với những khoảng trống là rất tốn thời gian và không phải là rất hứa hẹn. Có lẽ vì lý do này, chúng tôi không thấy một sự đóng góp lớn vào sự phát triển của toán học Ai Cập cổ đại.

Hy Lạp cổ đại và số học triết học

Nhiều người trong số những kiến thức của phương Đông cổ đại đã làm chủ thành công bởi người Hy Lạp cổ đại, được biết đến với các fan của phản ánh trừu tượng, trừu tượng và triết học. Thực hành chúng quan tâm không kém nhưng lý thuyết tốt nhất và các nhà tư tưởng là khó tìm. Đó là tốt cho khoa học bởi vì toán học là không thể đi sâu, không xé nó với thực tế. Tất nhiên, người ta có thể nhân lên 10 bò và 100 lít sữa, nhưng không thể di chuyển xa.

Hy Lạp suy nghĩ trái sâu một dấu ấn quan trọng trong lịch sử, và tác phẩm của họ đã đến với chúng tôi:

• Euclid và "Elements".
• Pythagoras.
• Archimedes.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

Và, tất nhiên, biến tất cả các triết lý của người Hy Lạp, và đặc biệt là những người theo trường hợp Pythagoras đã rất đam mê những con số, mà coi đó là sự hài hòa bí ẩn trên thế giới. Những con số đã được để nghiên cứu và điều tra, rằng một số trong số họ và các cặp vợ chồng của họ do tính chất đặc biệt. Ví dụ:

• số hoàn hảo - những người là tổng của tất cả các ước của nó trừ số tự (6 = 1 + 2 + 3).
• số thân thiện - những con số này, một trong số đó là tổng hợp của tất cả các ước của lại thứ hai và ngược (Pythagore biết chỉ có một cặp như vậy: 220 và 284).

Người Hy Lạp, người ta tin rằng khoa học cần được yêu thương, không phải với cô ấy vì lợi ích của tăng, đã có những bước tiến vĩ đại, khám phá, chơi và thêm số. Cần lưu ý rằng không phải tất cả các nghiên cứu của họ đã được sử dụng rộng rãi, một số trong số họ chỉ là "cho sắc đẹp."

nhà tư tưởng Đông của Trung Cổ

Tương tự như vậy, trong thời Trung Cổ số học nó nợ phát triển của nó đến người đương thời Đông. Người Ấn Độ đã cho chúng tôi những con số mà chúng tôi tích cực sử dụng một điều như vậy là "không", và vị trí thay đổi hệ thống tính toán, quan niệm hiện đại bình thường. Từ Al-cháo, mà trong thế kỷ 15 làm việc tại Samarkand, chúng tôi đã được thừa hưởng số thập phân, nếu không thì rất khó để tưởng tượng số học hiện đại.

Trong nhiều cách, Châu Âu làm quen với những thành tựu của phương Đông đã được thực hiện nhờ vào công việc của các nhà khoa học Ý Leonardo Fibonacci, người đã viết một cuốn sách "Liber Abaci", làm quen với những đổi mới phương Đông. Nó đã trở thành nền tảng của sự phát triển của đại số và số học, nghiên cứu và hoạt động khoa học ở châu Âu.

số học Nga

Cuối cùng, số học, đã tìm thấy vị trí của nó và bắt nguồn từ châu Âu, bắt đầu lan rộng trên đất Nga. Nga số học xuất bản lần đầu năm 1703 - đó là một cuốn sách về số học Leontiya Magnitskogo. Trong một thời gian dài đó là hướng dẫn duy nhất trong toán học. Nó chứa những khoảnh khắc ban đầu của đại số và hình học. Những con số, được sử dụng trong các ví dụ về các cuốn sách giáo khoa đầu tiên của Nga số học, tiếng Ả Rập. Mặc dù chữ số Ả Rập đã gặp trước đó, trong khắc có niên đại từ thế kỷ 17.

Chính cuốn sách được trang trí với hình ảnh của Archimedes và Pythagoras, và trên trang đầu tiên - số học hình ảnh như một người phụ nữ. Cô ngồi trên ngai vàng, bên dưới nó được viết bằng chữ Hebrew cho tên của Thiên Chúa, và về các bước dẫn đến bàn thờ, ghi chữ "phân chia", "tăng", "bổ sung", và vân vân. D. Người ta chỉ có thể tưởng tượng những gì giá trị phản bội sự thật như vậy, mà bây giờ được coi là phổ biến.

Các sách giáo khoa của 600 trang mô tả là cơ sở như cộng và bảng cửu chương, và các ứng dụng cho ngành khoa học hàng hải.

Không ngạc nhiên, tác giả đã lựa chọn hình ảnh của các nhà tư tưởng Hy Lạp cho cuốn sách của ông, bởi vì bản thân ông đã bị quyến rũ bởi vẻ đẹp của số học, nói: "Số học đã chislitelnitsa có Hội chợ Nghệ thuật, nezavistnoe ...". Cách tiếp cận này để số học cũng được thành lập, bởi vì nó là áp dụng rộng rãi của nó có thể được coi là sự khởi đầu của sự phát triển nhanh chóng của tư duy khoa học ở Nga và giáo dục phổ thông.

số nguyên tố khó chịu

số nguyên tố - đó là một số tự nhiên, đó là chỉ có 2 ước dương: 1 và chính nó. Tất cả số khác, ngoại trừ 1 được gọi là composite. Ví dụ về các số nguyên tố: 2, 3, 5, 7, 11, và tất cả những người khác mà không phải là ước khác hơn là 1 và số riêng của mình.

Đối với các số 1, nó là một bảo hiểm - có thỏa thuận rằng nó cần được xem xét không phải đơn giản hay phức tạp. Đơn giản ở cái nhìn đầu tiên, một số đơn giản che giấu nhiều bí ẩn chưa được giải quyết trong bản thân.

tiên đề của Ơclit nói rằng một số vô hạn các số nguyên tố, và Eratosthenes đã đưa ra một số học đặc biệt "sàng", trong đó loại bỏ số phức tạp, chỉ để lại đơn giản.

bản chất của nó là để nhấn mạnh phục hồi số đầu tiên, và trong nổi bật tiếp theo ra những người mà là bội số của nó. Chúng tôi lặp lại quy trình này nhiều lần - và có được một bảng các số nguyên tố.

định lý cơ bản của số học

Trong số các quan sát về số nguyên tố cần phải đặc biệt đề cập đến định lý số học cơ bản.

Định lý số học cơ bản khẳng định rằng bất kỳ số nguyên lớn hơn 1, hoặc đơn giản hoặc nó có thể được chia ra thành một sản phẩm của các số nguyên tố lên đến trật tự của các yếu tố lặp lại, cách duy nhất.

định lý cơ bản của số học tỏ ra khá cồng kềnh, và hiểu biết nó không giống như chỉ những điều cơ bản.

Thoạt nhìn, các số nguyên tố - khái niệm tiểu học, nhưng nó không phải là. Vật lý cũng từng được coi là nguyên tử tiểu học, cho đến khi cô tìm thấy bên trong một vũ trụ. Số nguyên tố dành riêng một câu chuyện toán học đẹp Don Zagier "Các năm mươi triệu số nguyên tố đầu tiên."

Từ "ba quả táo" để luật suy diễn

Đó thực sự có thể được gọi là một nền tảng củng cố của tất cả các khoa học - pháp luật của số học. Ngay cả như một đứa trẻ tất cả các mặt số học, nghiên cứu các số chân và cánh tay ở những con búp bê, số lượng các hình khối, táo và vân vân. D. Vì vậy, chúng ta nghiên cứu số học, mà sau đó tiến triển thành những quy tắc phức tạp hơn.

toàn bộ cuộc sống của chúng tôi giới thiệu chúng tôi với các quy tắc của số học, mà là cho người bình thường hữu ích nhất của tất cả các khoa học cung cấp cho. Nghiên cứu về số - đó là "Arithmetic-baby", trong đó giới thiệu người đàn ông với thế giới của các con số như chữ số trong thời thơ ấu.

Số học cao hơn - khoa học suy luận rằng nghiên cứu các quy luật của số học. Hầu hết trong số họ chúng ta đã biết, mặc dù có lẽ chúng ta không biết từ ngữ chính xác của họ.

Luật bổ sung và phép nhân

Bất kỳ hai số nguyên a và b có thể được biểu thị bằng tổng của a + b, đó cũng là một số tự nhiên. Về việc bổ sung, các luật sau đây:

• Giao hoán, mà nói rằng hoán vị của các điều khoản đặt số lượng không thay đổi, hoặc a + b = b + a.
• Kết hợp những gì đã nói tổng không phụ thuộc vào phương pháp của nhóm các điều khoản ở những nơi, hoặc a + (b + c) = (a + b) + c.

Quy tắc số học, chẳng hạn như bổ sung, - một trong những cơ bản, nhưng chúng được sử dụng tất cả các ngành khoa học, chưa kể đến cuộc sống hàng ngày.

Bất kỳ hai số nguyên a và b có thể được thể hiện trong sản phẩm hoặc một b * a * b, đó cũng là một số tự nhiên. Để áp dụng các sản phẩm luật giao hoán và kết hợp giống như việc bổ sung:

• a * b = b * a;
• một * (b * c) = (a * b) * c.

Điều thú vị là có một đạo luật, trong đó kết hợp cộng và phép nhân, còn được gọi là một bản phân phối hoặc luật phân phối:

a (b + c) = ab + ac

Luật này dạy chúng ta làm việc với dấu ngoặc, mở chúng, do đó chúng tôi đã có thể làm việc với các công thức phức tạp hơn. Đây là những luật đó sẽ dẫn chúng ta qua thế giới kỳ lạ nhưng phức tạp của đại số.

Luật thứ tự số học

về pháp luật của logic của con người nó sử dụng mỗi ngày, kiểm tra đồng hồ đeo tay và đếm các hóa đơn. Và, tuy nhiên, và nó sẽ được làm thành một ngôn ngữ cụ thể.

Nếu chúng ta có hai số nguyên dương a và b, sau đó các tùy chọn sau:

• a là bằng b, hoặc a = b;
• một ít hơn b, hoặc a
• a lớn hơn b, hoặc a> b.

Trong ba lựa chọn chỉ có thể chỉ có một. Luật cơ bản, trong đó điều chỉnh các thủ tục, cho biết: nếu a

Ngoài ra còn có luật lệ ràng buộc hành động của lệnh bổ sung và phép nhân: nếu a

Các định luật số học dạy chúng ta làm việc với những con số, dấu hiệu và dấu ngoặc, biến mọi thứ thành một bản giao hưởng hài hòa các con số.

Hệ thống đánh số vị trí và nonpositional

Chúng ta có thể nói rằng những con số - đây là ngôn ngữ của toán học, từ sự tiện lợi của nó phụ thuộc vào nhiều yếu tố. Có rất nhiều hệ thống tính toán, trong đó, giống như bảng chữ cái của ngôn ngữ khác nhau khác nhau.

Hãy xem xét các hệ thống số từ quan điểm của vị trí ảnh hưởng đến giá trị định lượng của các chữ số ở vị trí này. Ví dụ, hệ thống La Mã là nonpositional trong đó mỗi số được mã hóa bởi một tập hợp cụ thể của ký tự đặc biệt: I / V / X / L / C / D / M. Họ là, tương ứng, số 1/5/10/50/100/500 / 1000. Trong hệ thống này, con số này không thay đổi quyết định lượng của nó, tùy thuộc vào những gì vị trí của nó nên: .. Đầu tiên, thứ hai, vv Để có được những con số khác, nó là cần thiết để nằm xuống cơ sở. Ví dụ:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

quen thuộc hơn đối với chúng tôi hệ thống số sử dụng chữ số Ả Rập là vị trí. Trong một hệ thống như vậy số lượng xả xác định số chữ số, ví dụ, số ba chữ số: 333, 567, vv Trọng lượng của bất kỳ xả phụ thuộc vào một vị trí mà con số này là một hay khác, ví dụ như con số 8 ở vị trí thứ hai có giá trị 80. Đây là điển hình cho hệ thống thập phân, có hệ thống định vị khác như nhị phân.

số học nhị phân

Chúng tôi là hệ thống thập phân quen thuộc, bao gồm số đơn bit và đa-bit. Hình trên bên trái trong số chữ số là lớn hơn mười lần trong trọng một ở bên phải. Vì vậy, chúng tôi sử dụng để đọc 2, 17, 467, và vân vân. D. Đó là một cách tiếp cận logic và phần khác nhau, được gọi là "nhị phân số học." Đây không phải là đáng ngạc nhiên, vì số học nhị phân không được tạo ra cho logic của con người, và cho máy tính. Nếu số học các số có nguồn gốc từ đếm, trong đó tiếp tục trừu tượng từ các tài sản thuộc diện "khỏa thân" số học, thì điều này sẽ không làm việc với máy tính của bạn. Để có thể chia sẻ kiến thức của họ với máy tính, một người đàn ông đã phải phát minh ra một mô hình tính toán.

số học nhị phân làm việc với bảng chữ cái nhị phân, trong đó bao gồm duy nhất của 0 và 1. Và việc sử dụng bảng chữ cái này được gọi là một hệ sao đôi.

Không giống như các chữ số thập phân số học nhị phân mà tầm quan trọng của vị trí của trái không còn 10, và 2 lần. số nhị phân có dạng 111, 1001 và vân vân. D. Làm sao chúng ta nên hiểu những con số này? Do đó, chúng ta xem xét số 1100

1. Các chữ số đầu tiên bên trái - 1 * 8 = 8, ghi nhớ rằng chữ số thứ tư, có nghĩa là nó phải được nhân với 2, chúng tôi có được vị trí 8.
2. chữ số thứ hai 1 * 4 = 4 (vị trí 4).
3. Các chữ số thứ ba 0 * 2 = 0 (vị trí 2).
4. Các chữ số thứ tư 0 * 1 = 0 (vị trí 1).
5. Vì vậy, số lượng của chúng tôi 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

Đó là, việc chuyển đổi sang một lĩnh vực mới bên trái của ý nghĩa của nó trong hệ thống nhị phân được nhân với 2 và phần thập phân - đến 10 một hệ thống như vậy có một nhược điểm: nó là bit tăng trưởng quá lớn được yêu cầu để ghi lại số điện thoại. Ví dụ số thập phân dvochinyh như có thể thấy trong bảng dưới đây.

số thập phân được biểu diễn dưới dạng nhị phân dưới đây.

Nó cũng được sử dụng bát phân, và hệ thống đánh số thập lục phân.

số học huyền bí này

số học, "hai cộng hai" hoặc bí ẩn chưa được khám phá các con số là bao nhiêu? Như bạn có thể thấy, số học, có thể, và nó có vẻ ở cái nhìn đầu tiên một đơn giản, nhưng nó không phải là rõ ràng dễ gây nhầm lẫn. Có thể nghiên cứu trẻ em, và cùng với dì Owl từ phim hoạt hình "Arithmetic-bé", và bạn có thể lặn vào nghiên cứu khoa học sâu trật tự gần như triết học. Trong lịch sử nó đã đi từ đếm các đồ vật để thờ vẻ đẹp của con số. Một điều chắc chắn: với việc thành lập các định đề cơ bản của số học, tất cả các khoa học có thể dựa vào vai mạnh mẽ của cô.