Phương trình - đó là những gì? Định nghĩa, ví dụ

Trong quá trình của trường về toán học, đứa trẻ đầu tiên nghe thuật ngữ "phương trình". là những gì nó, cố gắng tìm hiểu nhau. Trong bài viết này, chúng tôi xem xét các loại và phương pháp giải quyết.

Toán. phương trình

Để bắt đầu cung cấp để đối phó với các khái niệm rất của nó là gì? Như đã nêu trong nhiều sách giáo khoa toán học, phương trình - đó là một số các biểu thức giữa mà bạn chắc chắn nên đăng ký bình đẳng. Trong các biểu thức, có những chữ cái, biến cái gọi là, giá trị trong số đó là và phải được tìm thấy.

một biến là gì? Hệ thống Thuộc tính này thay đổi giá trị của nó. Một ví dụ điển hình của các biến là:

• Nhiệt độ không khí;
• tăng trưởng của trẻ em;
• trọng lượng và vân vân.

Trong toán học, họ được minh họa bằng chữ cái, chẳng hạn như x, a, b, c ... Thông thường các nhiệm vụ của toán học như sau: tìm ra phương trình giá trị. Điều này có nghĩa rằng bạn cần phải tìm giá trị của các biến này.

loài

Phương trình (có nghĩa là, chúng ta đã thảo luận trong đoạn trước) có thể có dạng sau:

• tuyến tính;
• vuông;
• khối;
• đại số;
• siêu việt.

Để tìm hiểu thêm về tất cả các loại, xem xét từng cách riêng biệt.

phương trình tuyến tính

Đây là loại đầu tiên, mà đọc học sinh. Họ giải quyết khá nhanh chóng và dễ dàng. Do đó, phương trình tuyến tính, nó là gì? Biểu thức này có dạng: s = c. Vì vậy, không phải là rất rõ ràng, vì vậy chúng tôi đưa ra một vài ví dụ: 2 = 26; 5x = 40; 1.2x = 6.

Chúng ta hãy xem xét các ví dụ về phương trình. Để làm điều này chúng ta cần phải thu thập tất cả các dữ liệu được biết đến trên một mặt, và không biết đến người kia: x = 26/2; x = 40/5; x = 6 / 1,2. Có được sử dụng các quy tắc cơ bản của toán học: a * c = e, c này = e / a; a = e / s. Để hoàn thành các giải pháp của phương trình, chúng tôi thực hiện một hành động (trong trường hợp này, bộ phận) x = 13; x = 8; x = 5. Đây là những ví dụ trong nhân hiện nay có thể xem được trong phép trừ, bổ sung: x + 3 = 9; 5-10X = 15. dữ liệu nổi tiếng được chuyển theo một hướng: x = 9-3; x = 20/10. Chúng tôi thực hiện tác vụ cuối cùng: x = 6; x = 2.

Cũng có sẵn các tùy chọn của tuyến tính phương trình, trong đó sử dụng nhiều hơn một biến: 2x-2y = 4. Để giải quyết, nó là cần thiết để thêm từng phần 2y, chúng tôi nhận 2x-2y + 2y = 4-2u, như chúng ta đã thấy, ở phía bên trái của dấu bằng và -2u + 2y giảm, do đó chúng tôi là trái với: 2x = 4 -2u. Bước chia thức từng phần của hai, chúng tôi nhận được câu trả lời: X là hai trừ y.

Vấn đề với các phương trình được tìm thấy ngay cả trong Rhind Mathematical Papyrus. Đó là một trong những vấn đề: số lượng và phần thứ tư đưa ra một tổng cộng 15. Để giải quyết vấn đề này chúng ta viết phương trình sau: X cộng với một X thứ tư bằng mười lăm. Chúng ta thấy một ví dụ về một phương trình tuyến tính cho giải pháp tổng thể, chúng tôi nhận được câu trả lời: x = 12. Nhưng vấn đề này có thể được giải quyết theo cách khác, cụ thể là, Ai Cập, hay vì nó được gọi theo một cách khác, một cách suy đoán. Trong giấy cói sử dụng các giải pháp sau đây: mất bốn và một phần tư của nó, đó là một. Nói tóm lại, họ đưa ra năm, mười lăm giờ đây được chia cho Tóm lại, chúng ta có được ba, hành động cuối cùng của ba nhân bốn. Chúng tôi nhận được câu trả lời: 12. Tại sao chúng ta trong việc đối phó với mười lăm chia lăm? Vì vậy, chúng tôi tìm hiểu bao nhiêu lần mười lăm, tức là kết quả mà chúng ta cần phải nhận được ít nhất là năm. Bằng cách này, chúng ta đã giải quyết được vấn đề trong thời Trung Cổ, nó đã trở thành được gọi là phương pháp của vị trí sai.

phương trình bậc hai

Bên cạnh các ví dụ đề cập ở trên, có những người khác. Mà những người? phương trình bậc hai, nó là gì? Họ có dạng ax ² + bx + c = 0. Để giải quyết chúng, bạn cần phải làm quen với một số khái niệm và quy tắc.

Trước hết, bạn cần phải tìm các biệt thức của công thức: b ² -4ac. Có ba cách để giải quyết kết quả:

• biệt thức là lớn hơn không;
• nhỏ hơn không;
• là zero.

Trong phiên bản đầu tiên chúng ta có thể nhận được câu trả lời từ hai nguồn gốc, được theo công thức: -b + a gốc của biệt thức chia hai lần hệ số đầu tiên, tức là 2a.

Trong trường hợp thứ hai, gốc rễ của phương trình đó. Trường hợp thứ ba là thư mục gốc của công thức: -b / 2a.

Hãy xem xét các ví dụ về một phương trình bậc hai đối với một người quen chi tiết hơn: ba X bình phương trừ mười bốn X trừ lăm bằng zero. Để bắt đầu, như viết ở trên, nhìn biệt thức, trong trường hợp của chúng tôi nó là tương đương với 256. Lưu ý rằng số lượng kết quả lớn hơn zero, do đó, chúng ta sẽ nhận được câu trả lời gồm hai rễ. Thay thế được trong công thức biệt thức cho việc tìm kiếm rễ. Kết quả là, chúng ta có: X là lăm và trừ một phần ba.

Trường hợp đặc biệt trong các phương trình bậc hai

Đây là những ví dụ trong đó một số các giá trị là zero (a, b hoặc c), và có thể nhiều hơn nữa.

Ví dụ, hãy xem xét các phương trình sau đây, mà là một hình vuông, hai X bình phương là bằng không, ở đây chúng ta thấy rằng b và c đều bình đẳng không. Hãy cố gắng giải quyết nó, cho rằng hai bên chia hai, ta có: x ² = 0. Kết quả là, chúng tôi nhận x = 0.

Một trường hợp khác là 16x ² = 0 -9. Ở đây, chỉ có b = 0. Chúng tôi giải quyết phương trình, hệ số của việc chuyển giao miễn phí cho phía bên tay phải: 16 x ² = 9, bây giờ là mỗi phần được chia cho mười sáu x ² = 9/16. Kể từ khi chúng tôi đã x bình phương, căn bậc hai của 9/16 có thể là tiêu cực hay tích cực. Câu trả lời được viết như sau: X là tương đương với cộng / trừ ¾.

Càng tốt và câu trả lời này, giống như rễ của phương trình thì không. Chúng ta hãy nhìn vào ví dụ sau: 5 × ² + 80 = 0, trong đó b = 0. Để giải quyết nhiệm kỳ liên tục lây lan sang phía bên phải, sau khi các bước này, chúng ta nhận được: 5x ² = -80, và bây giờ mỗi phần được chia cho năm: x ² = trừ mười sáu. Nếu bất kỳ số vuông, giá trị tiêu cực chúng tôi nhận được. Về vấn đề này câu trả lời của chúng tôi là: tại gốc rễ của phương trình đó.

phân hủy tam thức

bởi phương trình bậc hai nhiệm vụ nghe có vẻ theo cách khác: để phân hủy các tam thức bậc hai vào yếu tố này. Điều này có thể được thực hiện bằng cách sử dụng công thức sau: a (x-x ₁₎ (x-x _2). Đối với điều này, như trong phương án tài liệu tham khảo khác, nó là cần thiết để tìm một biệt thức.

Hãy xem xét ví dụ sau: 3x ² -14h-5, phân hủy trên tam thức mnozheteli. Tìm các biệt thức sử dụng công thức đã được biết đến, nó được tìm thấy là 256. Bây giờ lưu ý rằng 256 là lớn hơn không, do đó, phương trình sẽ có hai rễ. Tìm chúng, như trong đoạn trước, ta có: x = trừ lăm và một phần ba. Sử dụng các công thức cho tam thức phân hủy trên mnozheteli 3 (x-5) (x + 1/3). Trong phần thứ hai khung chúng ta có một dấu bằng, bởi vì công thức là giá trị trừ dấu hiệu và nguồn gốc, quá, là tiêu cực, sử dụng một kiến thức cơ bản về toán học, trong số tiền chúng tôi có một dấu cộng. Để đơn giản, chúng ta nhân đầu tiên và nhiệm kỳ thứ ba của phương trình để thoát khỏi các phần phân đoạn: (x-5) (x + 1).

Phương trình rút gọn về hình vuông

Trong phần này, chúng ta học làm thế nào để giải quyết các phương trình phức tạp hơn. Chúng tôi bắt đầu ngay lập tức với một ví dụ:

(X ² - 2x) ² - 2 (x ² - 2x) - 3 = 0. Chúng ta có thể thông báo định kỳ mặt hàng: (x ² - 2x), thuận tiện cho chúng tôi giải pháp để thay thế nó bằng một biến khác, và sau đó giải quyết bình thường bậc hai phương trình, ngay lập tức lưu ý rằng trong nhiệm vụ này, chúng tôi có được bốn rễ, nó không nên hù dọa bạn. biến lặp lại và biểu thị. Chúng tôi nhận được ² 2A-3 = 0. Bước tiếp theo của chúng ta - là để tìm một phương trình biệt thức mới. Chúng tôi nhận được 16, chúng ta thấy hai rễ: trừ một và ba. Chúng ta nhớ rằng chúng ta đã làm thay thế, thay thế các giá trị, kết quả là, chúng ta có phương trình: x ² - 2x = -1; x ² - 2x = 3. Giải quyết chúng trong phản ứng đầu tiên: x là một, thứ hai: x là âm một và ba. Viết câu trả lời như sau: cộng / trừ một và ba. Thông thường, câu trả lời được viết theo thứ tự tăng dần.

khối

Chúng ta hãy xem xét một tùy chọn. Đó là về phương trình bậc ba. Họ có dạng: ax ³ + bx ² + cx + d = 0. Ví dụ về phương trình chúng ta xem xét thêm, và để bắt đầu với một lý thuyết rất ít. Họ có thể có ba rễ, là có một công thức cho việc tìm kiếm các biệt thức của một phương trình bậc ba.

Hãy xem xét ví dụ sau: ^{3 + 3 4 2 + 2 =} 0 . Làm thế nào để giải quyết nó? Để làm điều này, chúng tôi chỉ đưa ra khung x: x (3 + ² 4 + 2) = 0. Tất cả chúng ta phải làm - là để tính toán rễ của phương trình trong ngoặc đơn. Các biệt thức của phương trình bậc hai trong ngoặc đơn là nhỏ hơn không, trên cơ sở đó, có một biểu hiện root: x = 0.

Đại số. phương trình

Đến khi nhìn thấy tới. Bây giờ chúng ta một thời gian ngắn xem xét các phương trình đại số. Một trong những nhiệm vụ như sau: phương pháp của nhóm trải ra trên mnozheteli 3 ⁴ 2 + ³ + 8 × ² + 2 + 5. Nhất thuận tiện cách như sau nhóm: (3 + ⁴ 3 ²⁾ + (2 x ³ + 2) + (5 × ² 5). Lưu ý rằng 8 × ² từ biểu thức đầu tiên, chúng tôi đã trình bày như là tổng của 3 và ² 5x ^2. Bây giờ chúng ta đưa ra mỗi khung 3 yếu tố phổ biến ² (x2 + 1) 2 + (x ² +1) 5 ⁽² x +1). Chúng tôi thấy rằng chúng tôi có một yếu tố chung: X bình phương cộng với một, để làm cho nó ra khỏi dấu ngoặc: (1 x ²⁾ (3 ² + 2 + 5). Hơn nữa phân hủy là không thể, vì cả hai phương trình có biệt thức tiêu cực.

phương trình siêu việt

Cung cấp để đối phó với các loại tiếp theo. Phương trình này, có chứa các chức năng siêu việt, cụ thể là, logarit, lượng giác hoặc mũ. Ví dụ: 6sin ² x + TGX-1 = 0, x + 5lgx = 3 và vân vân. Làm thế nào họ được giải quyết, bạn sẽ học hỏi từ lượng giác.

hàm số

Giai đoạn cuối cùng của khái niệm, xét hàm phương trình. Không giống như các phiên bản trước, loại này không thể được giải quyết, và đồ thị dựa trên nó. Đối với phương trình này là cũng có giá trị để phân tích, để tìm tất cả các điểm cần thiết cho việc xây dựng, tính toán tối đa và điểm tối thiểu.