Phương trình của mặt phẳng: làm thế nào để thực hiện? Các loại phương trình mặt phẳng

Không gian máy bay có thể được định nghĩa theo nhiều cách khác nhau (một dấu chấm và vector, vector và hai điểm, ba điểm, vv). Đó là với điều này trong tâm trí, phương trình mặt phẳng có thể có các loại khác nhau. Cũng theo các điều kiện nhất định máy bay có thể song song, vuông góc, giao nhau vv Về vấn đề này và sẽ nói trong bài viết này. Chúng tôi sẽ tìm hiểu để làm cho phương trình tổng quát của mặt phẳng và không chỉ.

Các hình thức bình thường của phương trình

Giả sử R là không gian _3, trong đó có phối hợp một hình chữ nhật hệ thống XYZ. Chúng ta định nghĩa một α vector, sẽ được phát hành từ điểm xuất phát O. Qua sự kết thúc của α vector vẽ máy bay P đó là vuông góc với nó.

Biểu thị P tại một tùy ý điểm Q = (x, y, z). Các vector bán kính của điểm Q lá thư dấu p. Chiều dài của vector bằng p α = IαI và Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

vector đơn vị này, đó là hướng theo hướng như α vector. α, β và γ - là góc được hình thành giữa các vector và hướng tích cực Ʋ trục không gian x, y, z tương ứng. Chiếu của một điểm trên vector QεP Ʋ là một hằng số tương đương với p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Phương trình trên có ý nghĩa khi p = 0. Chiếc máy bay n chỉ trong trường hợp này, sẽ vượt qua điểm O (α = 0), đó là nguồn gốc, và Ʋ đơn vị vector, phát hành từ điểm O sẽ vuông góc với P, mặc dù hướng đi của nó, có nghĩa là các Ʋ vector xác định lên đến dấu. phương trình trước đó là máy bay P của chúng tôi, thể hiện dưới dạng vector. Nhưng theo quan điểm của tọa độ của nó là:

P là lớn hơn hoặc bằng 0. Chúng tôi đã tìm thấy phương trình mặt phẳng trong hình thức bình thường.

Phương trình tổng quát

Nếu phương trình trong tọa độ nhân với bất kỳ số đó không phải là bằng không, ta được phương trình tương đương với định nghĩa này máy bay rất. Nó sẽ có dạng sau:

Ở đây, A, B, C - là số lượng đồng thời khác nhau từ số không. Phương trình này được gọi là phương trình có dạng tổng quát của mặt phẳng.

Các phương trình của mặt phẳng. trường hợp đặc biệt

Phương trình nói chung có thể được sửa đổi với điều kiện bổ sung. Xem xét một số trong số họ.

Giả sử rằng hệ số A là 0. Điều này cho thấy rằng mặt phẳng song song với trục Ox được xác định trước. Trong trường hợp này, hình thức của phương trình thay đổi: Wu + Cz + D = 0.

Tương tự như vậy, hình thức của phương trình và sẽ thay đổi theo các điều kiện sau:

• Thứ nhất, nếu B = 0, thay đổi phương trình để Axe + Cz + D = 0, trong đó sẽ chỉ ra song song với trục Oy.
• Thứ hai, nếu C = 0, phương trình được chuyển thành Axe + By + D = 0, có nghĩa là để nói về song song với trục định trước Oz.
• Thứ ba, nếu D = 0, phương trình sẽ xuất hiện như Axe + By + Cz = 0, trong đó sẽ có nghĩa là mặt phẳng cắt O (nguồn gốc).
• Thứ tư, nếu A = B = 0, thay đổi phương trình để Cz + D = 0, mà sẽ chứng minh song song Oxy.
• Thứ năm, nếu B = C = 0, phương trình trở thành Axe + D = 0, có nghĩa là máy bay song song với Oyz.
• Sáu là, nếu A = C = 0, phương trình có dạng Wu + D = 0, nghĩa là, sẽ báo cáo cho Oxz xử lý song song.

Mẫu của phương trình trong các phân đoạn

Trong trường hợp số A, B, C, D khác nhau từ số không, dưới hình thức của phương trình (0) có thể thực hiện như sau:

x / a + y / b + z / c = 1,

trong đó a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Chúng tôi nhận được như một phương trình kết quả của máy bay trong miếng. Cần lưu ý rằng chiếc máy bay này sẽ giao với trục x tại điểm có tọa độ (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), và Oz - (0,0, s).

Căn cứ vào phương trình x / a + y / b + z / c = 1, nó không phải là khó khăn để hình dung mặt phẳng vị trí tương đối với một hệ thống được xác định trước tọa độ.

Các tọa độ của vector bình thường

Các vector n vuông góc với mặt phẳng P có tọa độ đó là các hệ số của phương trình tổng quát của mặt phẳng, ví dụ: n (A, B, C).

Để xác định tọa độ của n bình thường, nó là đủ để biết phương trình tổng quát cho máy bay.

Khi sử dụng phương trình trong phân khúc, trong đó có các hình thức x / a + y / b + z / c = 1, như khi sử dụng phương trình tổng quát có thể được viết tọa độ của bất kỳ vector bình thường một chiếc máy bay đưa ra: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Cần lưu ý rằng các vector bình thường giúp đỡ để giải quyết vấn đề khác nhau. Những vấn đề phổ biến nhất là bao gồm trong mặt phẳng vuông góc hoặc song song bằng chứng, nhiệm vụ của việc tìm kiếm các góc giữa các mặt phẳng hoặc các góc giữa các mặt phẳng và đường thẳng.

Gõ theo phương trình mặt phẳng và tọa độ của vector bình thường điểm

Một n khác không vector, vuông góc với một mặt phẳng nhất định, gọi là bình thường (bình thường) đến một chiếc máy bay được xác định trước.

Giả sử rằng trong không gian tọa độ (hệ tọa độ hình chữ nhật) Oxyz thiết lập:

• Mₒ điểm có tọa độ (hₒ, uₒ, zₒ);
• zero vector n = A * i + B * j + C * k.

Bạn cần phải thực hiện phương trình mặt phẳng đi qua Mₒ điểm vuông góc với n bình thường.

Trong khoảng thời gian chúng ta chọn bất kỳ điểm nào tùy ý và ký hiệu M (x, y, z). Hãy để cho vector bán kính của mỗi điểm M (x, y, z) sẽ là r = x * i + y * j + z * k, và vector bán kính của một Mₒ điểm (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Điểm M sẽ thuộc về một mặt phẳng nhất định, nếu MₒM vector được vuông góc với n véc tơ. Chúng tôi viết điều kiện trực giao sử dụng sản phẩm vô hướng:

[MₒM, n] = 0.

Kể từ MₒM = r-rₒ, phương trình vector của máy bay sẽ trông như thế này:

[R - rₒ, n] = 0.

Phương trình này cũng có thể có hình dạng khác. Với mục đích này, các thuộc tính của sản phẩm vô hướng, và chuyển đổi ở phía bên trái của phương trình. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Nếu [rₒ, n] ký hiệu là s, ta có phương trình sau: [r, n] - a = 0 hoặc [r, n] = s, trong đó bày tỏ sự bất biến của các dự trên vector bình thường của bán kính-vector của điểm nhất định thuộc về máy bay.

Bây giờ bạn có thể nhận được các mặt phẳng tọa độ kiểu ghi phương trình vector của chúng tôi [r - rₒ, n] = 0. Kể từ r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, và n = A * i + B * j + C * k, ta có:

Nó chỉ ra rằng chúng ta có phương trình được hình thành mặt phẳng đi qua điểm vuông góc với n bình thường:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Gõ theo phương trình mặt phẳng và tọa độ của hai điểm của mặt phẳng thẳng hàng vector

Chúng ta định nghĩa hai điểm tùy ý M '(x', y 'z') và M "(x", y", z "), cũng như các vector (a', a", một ‴).

Bây giờ chúng ta có thể viết phương trình mặt phẳng được xác định trước đó đi qua điểm M hiện 'và M", và mỗi điểm với tọa độ M (x, y, z) song song với một vector nhất định.

Do đó vectơ M'M x = {x 'y-y'; zz '} và M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} nên đồng phẳng với vector a = (a', a "một ‴), có nghĩa là (M'M M" M, a) = 0.

Vì vậy, phương trình của chúng ta về một chiếc máy bay trong không gian sẽ trông như thế này:

Loại phương trình mặt phẳng, qua ba điểm

Hãy nói rằng chúng tôi có ba điểm: (x 'y', z '), (x', y 'z'), (x ‴ Có ‴, z ‴), mà không thuộc về cùng một dòng. Nó là cần thiết để viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm quy định. lý thuyết hình học cho rằng loại máy bay không tồn tại, nó chỉ là một và duy nhất. Kể từ khi chiếc máy bay này giao với điểm (x 'y', z '), hình thức phương trình của nó sẽ là:

Ở đây, A, B, và C là khác nhau từ zero cùng một lúc. Ngoài ra máy bay được giao với hai điểm nhiều hơn (x "y", z ") và (x ‴, y ‴, z ‴). Trong mối liên hệ này cần được tiến hành loại này điều kiện:

Bây giờ chúng ta có thể tạo ra một hệ thống thống nhất của phương trình (tuyến tính) với ẩn số u, v, w:

Trong trường hợp của chúng tôi x, y hoặc z đứng điểm tùy ý mà thỏa mãn phương trình (1). Xét phương trình (1) và một hệ phương trình (2) và (3) các hệ phương trình cho thấy trong hình trên, đáp ứng vector N (A, B, C) là không tầm thường. Đó là bởi vì các yếu tố quyết định của hệ thống là zero.

Phương trình (1) mà chúng ta đã có, đây là phương trình của mặt phẳng. 3 điểm cô ấy thực sự đi, và thật dễ dàng để kiểm tra. Để làm điều này, chúng tôi mở rộng yếu tố quyết định bởi các yếu tố trong hàng đầu tiên. Trong số tài sản hiện có yếu tố quyết định sau đó máy bay của chúng tôi đồng thời cắt ba điểm ban đầu được xác định trước (x 'y', z '), (x "y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Vì vậy, chúng tôi quyết định giao nhiệm vụ trước mặt chúng tôi.

góc nhị diện giữa các mặt phẳng

góc nhị diện là một hình dạng hình học không gian hình thành bởi hai nửa chiếc máy bay bắt nguồn từ một đường thẳng. Nói cách khác, một phần của không gian được giới hạn ở những nửa máy bay.

Giả sử chúng ta có hai mặt phẳng với các phương trình sau đây:

Chúng ta biết rằng các vector N = (A, B, C) và N¹ = (A¹, H¹, S¹) theo máy bay được xác định trước vuông góc. Về vấn đề này, góc φ giữa vectơ N và N¹ góc bằng nhau (nhị diện), nằm giữa những chiếc máy bay. Các sản phẩm vô hướng được cho bởi:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

chính vì

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Nó là đủ để xem xét 0≤φ≤π đó.

Trên thực tế hai máy bay mà giao nhau, hình thức hai góc (nhị diện): φ ₁ và φ _2. tổng của chúng bằng pi (φ ₁ + φ ₂ = π). Đối với cosin của họ, giá trị tuyệt đối của họ đều bình đẳng, nhưng họ là những dấu hiệu khác nhau, có nghĩa là, cos φ ₁ = -cos φ _2. Nếu trong phương trình (0) được thay thế bằng A, B và C của -A, B, C tương ứng, phương trình, chúng tôi có được, sẽ quyết định cùng mặt phẳng, góc chỉ φ trong cos phương trình φ = NN ¹ / | N || N ¹ | Nó sẽ được thay thế bằng π-φ.

Phương trình của mặt phẳng vuông góc

Gọi là vuông góc với mặt phẳng, giữa đó là góc 90 độ. Sử dụng các tài liệu trình bày ở trên, chúng ta có thể tìm ra phương trình của một mặt phẳng vuông góc với người kia. Giả sử chúng ta có hai máy bay: Axe + By + Cz + D = 0, và + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Chúng ta có thể nói rằng họ là trực giao nếu cos = 0. Điều này có nghĩa rằng NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Phương trình của một chiếc máy bay song song

Nó đề cập đến hai mặt phẳng song song mà không chứa điểm chung.

Các điều kiện của mặt phẳng song song (phương trình của họ cũng giống như trong đoạn trước) là các vectơ N và N¹, đó là vuông góc với họ, thẳng hàng. Điều này có nghĩa rằng các điều kiện sau đây được đáp ứng tương xứng:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Nếu các điều khoản tương ứng được mở rộng - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

điều này cho thấy rằng mặt phẳng dữ liệu giống nhau. Điều này có nghĩa rằng phương trình ax + by + Cz + D = 0 và + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 mô tả một mặt phẳng.

Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Giả sử chúng ta có một chiếc máy bay P, mà được cho bởi (0). Nó là cần thiết để tìm khoảng cách từ điểm có tọa độ (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Bạn cần phải mang theo phương trình trong sự xuất hiện bình thường mặt phẳng II để làm cho nó:

(Ρ, v) = p (r≥0).

Trong trường hợp này, ρ (x, y, z) là vector bán kính Q điểm của chúng tôi, nằm trên n p - n là chiều dài của vuông góc, được phát hành từ điểm zero, v - là vector đơn vị, được sắp xếp theo hướng a.

Sự khác biệt ρ-ρº vector bán kính của một điểm Q = (x, y, z), thuộc sở hữu của P và vector bán kính của một điểm nhất định Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) là vector, giá trị tuyệt đối của chiếu trong đó trên v tương đương với khoảng cách d, đó là cần thiết để tìm từ Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) để P:

D = | (ρ ^ρ-0, v) |, nhưng

(Ρ ^ρ-0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Vì vậy, nó quay ra,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Bây giờ rõ ràng là để tính toán khoảng cách d từ ₀ đến Q máy bay P, nó là cần thiết để sử dụng phương trình xem máy bay bình thường, chuyển sang bên trái của p, và nơi cuối cùng của x, y, z thay thế (hₒ, uₒ, zₒ).

Do đó, chúng ta thấy giá trị tuyệt đối của biểu thức kết quả là những gì cần thiết d.

Sử dụng các thông số của ngôn ngữ, chúng tôi nhận được rõ ràng:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Nếu điểm quy định Q ₀ là ở phía bên kia của mặt phẳng P là nguồn gốc, sau đó giữa các vector ρ ^ρ-0 và v là một góc tù, như sau:

d = - (ρ ^ρ-0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Trong trường hợp khi các điểm Q ₀ kết hợp với nguồn gốc nằm trên cùng một bên của U, góc nhọn được tạo ra, đó là:

d = (ρ ^ρ-0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Kết quả là trong trường hợp cựu (ρ ^0, v)> p, trong lần thứ hai (ρ ^0, v)

Và phương trình mặt phẳng tiếp tuyến của nó

Liên quan đến máy bay đến bề mặt tại điểm tiếp tuyến Mº - một mặt phẳng chứa tất cả các tiếp tuyến có thể với đường cong được vẽ qua điểm đó trên bề mặt.

Với hình thức bề mặt này của phương trình F (x, y, z) = 0 trong phương trình của Mº điểm mặt phẳng tiếp tuyến tiếp xúc (hậu, uº, zậy) sẽ là:

F _x (hậu, uº, zậy) (hậu x) + F _x (hậu, uº, zậy) (uº y) + F _x (hậu, uº, zậy) (z-zậy) = 0.

Nếu bề mặt được thiết lập một cách rõ ràng z = f (x, y), sau đó các máy bay tiếp xúc được mô tả bởi phương trình:

z-zậy = f (hậu, uº) (hậu x) + f (hậu, uº) (y uº).

Giao điểm của hai mặt phẳng

Trong không gian ba chiều là một hệ tọa độ (hình chữ nhật) Oxyz, cho hai chiếc máy bay P 'và P' trùng lặp và không trùng khớp. Kể từ bất kỳ máy bay, mà là trong một hình chữ nhật hệ tọa độ xác định bởi phương trình tổng quát, chúng ta giả định rằng n 'và n "được định nghĩa bởi các phương trình A'x + V'u S'z + + D' = 0 và A" + B x '+ y với "z + D" = 0. Trong trường hợp này chúng ta có n bình thường '(A', B 'C') của mặt phẳng P 'và n bình thường "(A", B "C") của mặt phẳng P'. Như máy bay của chúng tôi được không song song và không trùng khớp, sau đó những vectơ không thẳng hàng. Sử dụng ngôn ngữ của toán học, chúng tôi có điều kiện này có thể được viết như sau: n '≠ n "↔ (A', B 'C') ≠ (λ * Và", λ * Trong "λ * C"), λεR. Hãy để đường thẳng nằm ở ngã tư P 'và P", sẽ được ký hiệu bằng các chữ cái a, trong trường hợp này a = P' ∩ P".

và - một dòng gồm một đa điểm (phổ biến) máy bay P 'và P". Điều này có nghĩa rằng các tọa độ của bất kỳ điểm nào thuộc dòng một, đồng thời phải đáp ứng các phương trình A'x + V'u S'z + + D '= 0 và A "x + B' + C y" z + D "= 0. Điều này có nghĩa rằng các tọa độ của điểm sẽ là một giải pháp cụ thể của các phương trình sau đây:

Kết quả là các giải pháp (tổng thể) của hệ thống này của phương trình sẽ xác định tọa độ của mỗi điểm trên đường dây mà sẽ đóng vai trò là điểm giao nhau P 'và P", và xác định một dòng trong một hệ tọa độ Oxyz (hình chữ nhật) không gian.