Bài toán nan giải: Phương trình Navier-Stokes, các giả thuyết Hodge, giả thuyết Riemann. mục tiêu Thiên niên kỷ

bài toán nan giải - 7 vấn đề toán học thú vị. Mỗi trong số họ đã được đề xuất tại các nhà khoa học nổi tiếng một thời gian, thường là dưới hình thức giả thuyết. Trong nhiều thập kỷ, để giải quyết chúng gãi đầu toán học của họ trên toàn thế giới. Những người thành công, chờ đợi một phần thưởng một triệu đô la Mỹ được cung cấp bởi Viện Clay.

thời tiền sử

Năm 1900, nhà toán học người Đức David Hilbert toa xe lớn, trình bày một danh sách 23 vấn đề.

Nghiên cứu tiến hành với mục đích quyết định của mình, tôi đã có một tác động to lớn về khoa học của thế kỷ 20. Tại thời điểm này, hầu hết trong số họ đã không còn là một điều bí ẩn. Trong số những người chưa được giải quyết hoặc một phần giải quyết là:

• các vấn đề về sự phù hợp của các tiên đề số học;
• pháp luật nói chung có đi có lại trong khoảng thời gian bất kỳ trường số;
• nghiên cứu toán học của tiên đề vật lý;
• nghiên cứu về hình thức bậc hai cho hệ số số đại số tùy ý;
• vấn đề nghiêm ngặt biện minh enumerative hình học Fedor Schubert;
• và vân vân.

Chưa được khám phá đang lan rộng vấn đề đối với bất kỳ hợp lý khu vực đại số biết Kronecker lý và Riemann giả thuyết .

Viện Clay

Dưới tên này được gọi tổ chức phi lợi nhuận tư nhân, có trụ sở tại Cambridge, Massachusetts. Nó được thành lập vào năm 1998 bởi nhà toán học Harvard và doanh nhân A. Jeffrey L. Clay. Mục đích của Viện là để thúc đẩy và phát triển kiến thức toán học. Để đạt được tổ chức này đưa ra giải thưởng cho các nhà khoa học và tài trợ nghiên cứu đầy hứa hẹn.

Vào đầu thế kỷ 21 Clay Toán học Viện đã đề nghị một phí bảo hiểm cho những người sẽ giải quyết vấn đề này, được gọi là bài toán nan giải phức tạp nhất, gọi danh sách các thiên niên kỷ giải vấn đề. Từ "Danh sách Hilbert" nó trở thành chỉ giả thuyết Riemann.

mục tiêu Thiên niên kỷ

Trong danh sách của Viện Clay ban đầu bao gồm:

• Giả thuyết Hodge trên chu kỳ;
• các phương trình của thuyết lượng tử của Yang - Mills;
• Giả thuyết Poincaré ;
• vấn đề bình đẳng của các tầng lớp P và NP;
• Giả thuyết Riemann;
• Phương trình Navier-Stokes, sự tồn tại và êm ái của quyết định của mình;
• vấn đề Birch - Swinnerton-Dyer.

Những vấn đề toán học mở là mối quan tâm lớn bởi vì họ có thể có nhiều triển khai thực tế.

Có gì chứng minh Grigoriy Perelman

Trong năm 1900, các nhà khoa học nổi tiếng và nhà triết học Anri Puankare gợi ý rằng mỗi chỉ đơn giản là kết nối nhỏ gọn 3 đa dạng mà không ranh giới là đồng phôi với mặt cầu 3 chiều. Các bằng chứng trong trường hợp chung chưa được trong hơn một thế kỷ. Chỉ trong năm 2002-2003, các nhà toán học St. Petersburg G. Perelman đã công bố một loạt các bài báo với các giải pháp của vấn đề Poincare. Họ xôn xao dư luận. Trong năm 2010, giả thuyết Poincare đã được loại trừ khỏi danh sách các "vấn đề không được giải quyết" Viện Clay, và Perelman đã được mời để có được một khoản thù lao đáng kể do ông, mà sau này đã từ chối mà không giải thích lý do cho quyết định của mình.

Lời giải thích dễ hiểu hầu hết những gì có thể chứng minh cho nhà toán học Nga, có thể được đưa ra, với điều kiện là một chiếc bánh rán (xuyến), kéo đĩa cao su, và sau đó cố gắng kéo mép chu vi của nó tại một thời điểm. Rõ ràng, điều này là không thể. Một điều nữa là, nếu chúng ta thực hiện thí nghiệm này với bóng. Trong trường hợp này, có vẻ là hình cầu ba chiều, chúng tôi có được từ chu vi đĩa gắn vào điểm dây giả thuyết là ba chiều trong sự hiểu biết của một người bình thường, nhưng một hai chiều về toán học.

Poincare gợi ý rằng các cầu ba chiều là chỉ "đối tượng" ba chiều, bề mặt đều có thể được ký hợp đồng để một điểm duy nhất, và Perelman đã có thể chứng minh điều đó. Như vậy, "bài toán nan giải" danh sách hiện nay bao gồm 6 vấn đề.

lý thuyết Yang-Mills

vấn đề toán học này đã được đề xuất bởi các tác giả vào năm 1954. xây dựng khoa học của lý thuyết này là như sau: đối với bất kỳ đơn giản nhỏ gọn nhóm gauge lý thuyết lượng tử không gian tạo ra bởi Yang và Millsom tồn tại, và do đó có không khiếm khuyết đại chúng.

Nói ngôn ngữ hiểu bởi người bình thường, sự tương tác giữa các đối tượng tự nhiên (. Particles, cơ quan, sóng, vv) được chia thành 4 loại: điện từ, hấp dẫn, yếu và mạnh mẽ. Trong nhiều năm, các nhà vật lý đang cố gắng để tạo ra một lý thuyết trường nói chung. Nó phải trở thành một công cụ để giải thích tất cả những tương tác này. Yang-Mills lý thuyết - một ngôn ngữ toán học mà nó đã có thể để mô tả 3 của 4 lực cơ bản của tự nhiên. Nó không áp dụng đối với trọng lực. Vì vậy chúng tôi không thể giả định rằng Yang và Mills đã có thể phát triển một lý thuyết về lĩnh vực này.

Bên cạnh đó, phi tuyến tính của các phương trình đề xuất khiến họ vô cùng khó khăn để giải quyết. họ quản lý để giải quyết xấp xỉ hằng khớp nối nhỏ như là một loạt xáo trộn. Tuy nhiên, nó không phải là rõ ràng làm thế nào để giải quyết những phương trình cho khớp nối mạnh mẽ.

Navier-Stokes phương trình

Với những biểu thức mô tả các quá trình như luồng gió, dòng chảy chất lỏng và bất ổn. Đối với một số trường hợp đặc biệt, các giải pháp phân tích của các phương trình Navier-Stokes đã được tìm thấy, nhưng làm điều đó cho phổ biến nhưng không ai đã thành công. Đồng thời, mô phỏng số cho các giá trị cụ thể của tốc độ, mật độ, áp suất, thời gian, và vân vân cho phép để đạt được kết quả tuyệt vời. Chúng ta chỉ có thể hy vọng rằng ai đó sẽ sử dụng phương trình Navier-Stokes theo hướng ngược lại, tức là. E. tính toán sử dụng các thông số của họ, hoặc để chứng minh rằng phương pháp này không phải là giải pháp.

Nhiệm vụ của Birch - Swinnerton-Dyer

Các chủng loại "vấn đề nổi bật" áp dụng đối với giả thuyết của các nhà khoa học Anh tại Đại học Cambridge được đề xuất. Ngay cả 2300 năm trước, học giả cổ đại Hy Lạp Euclid đã đưa ra một mô tả đầy đủ trong những giải pháp của phương trình x2 + y2 = z2.

Nếu vì mỗi người trong số các số nguyên tố để tính toán số điểm trên đường cong của đơn vị mình, chúng tôi có được một bộ vô hạn các số nguyên. Nếu một cách cụ thể để "keo" nó tới 1 chức năng của một biến phức tạp, sau đó nhận được hàm zeta Hasse-Weil cho một đường cong bậc ba, ký hiệu bằng chữ L. Nó chứa thông tin về hành vi của các modulo tất cả các số nguyên tố ngay lập tức.

Bryan Birch và Peter Swinnerton-Dyer đưa ra giả thuyết tương đối của đường cong elliptic. Theo đó, cơ cấu và số lượng đề ra các quyết định hợp lý kết hợp với hành vi của đơn vị L-chức năng. Hiện nay giả thuyết chưa được chứng minh Birch - Swynnerton-Dyer phụ thuộc vào phương trình đại số mô tả 3 độ và chỉ phương pháp chung tương đối đơn giản để tính thứ hạng của đường cong elliptic.

Để hiểu được tầm quan trọng thực tiễn của vấn đề này, nó cũng đủ để nói rằng trong mật mã học hiện đại dựa trên đường cong elliptic một lớp học của các hệ thống bất đối xứng, và ứng dụng của họ được dựa tiêu chuẩn nội địa của chữ ký điện tử.

Bình đẳng của các tầng lớp p và np

Nếu phần còn lại của "thiên niên kỷ thách thức" là hoàn toàn toán học, điều này có liên quan đến lý thuyết thực tế của thuật toán. Một vấn đề với các lớp học bình đẳng p và np, còn được gọi là vấn đề của ngôn ngữ dễ hiểu Nấu-Levin có thể được xây dựng như sau. Giả sử rằng một câu trả lời tích cực cho một câu hỏi có thể được xác nhận một cách nhanh chóng đủ, đó là. E. Trong thời gian đa thức (PT). Sau đó, nếu tuyên bố là đúng, rằng câu trả lời có thể khá nhanh chóng để tìm? Thậm chí dễ dàng hơn , vấn đề này là: Là giải pháp thực sự kiểm tra không có khó khăn hơn để tìm thấy nó? Nếu bình đẳng của các tầng lớp p và np sẽ bao giờ được chứng minh rằng tất cả các vấn đề lựa chọn có thể được giải quyết cho PV. Tại thời điểm này, nhiều chuyên gia nghi ngờ về sự thật của tuyên bố này, nhưng không thể chứng minh ngược lại.

Giả thuyết Riemann

Cho đến năm 1859 không có bằng chứng của bất kỳ luật lệ sẽ mô tả làm thế nào để phân phối các số nguyên tố trong tự nhiên. Có lẽ điều này là do thực tế là các khoa học liên quan đến các vấn đề khác. Tuy nhiên, vào giữa thế kỷ 19, tình hình đã thay đổi và họ đã trở thành một trong những bức xúc nhất, mà bắt đầu tập luyện môn toán.

Các Giả thuyết Riemann, trong đó xuất hiện trong giai đoạn này - đây là giả định rằng có một khuôn mẫu nhất định trong việc phân phối các số nguyên tố.

Ngày nay, nhiều nhà khoa học hiện đại tin rằng nếu nó được chứng minh, nó sẽ phải cân nhắc lại nhiều trong những nguyên tắc cơ bản của mật mã hiện đại, hình thành cơ sở của một bộ phận lớn của cơ chế thương mại điện tử.

Theo giả thuyết Riemann, bản chất của sự phân bố của số nguyên tố có thể khác với dự đoán vào lúc này. Thực tế là cho đến nay vẫn chưa được tìm thấy trong hệ thống bất kỳ trong việc phân phối các số nguyên tố. Ví dụ, có một vấn đề "sinh đôi", sự khác biệt giữa tương đương với 2. Những con số này là 11 và 13, 29. số nguyên tố khác tạo thành cụm. Đó là 101, 103, 107 và những người khác. Các nhà khoa học từ lâu đã nghi ngờ rằng các cụm như vậy tồn tại giữa các số nguyên tố rất lớn. Nếu bạn tìm thấy chúng, cuộc kháng chiến của khóa mật hiện đại sẽ dưới câu hỏi.

Giả thuyết của chu kỳ Hodge

vấn đề chưa được giải quyết này vẫn được xây dựng vào năm 1941. Hodge giả thuyết đưa ra khả năng xấp xỉ dạng của bất kỳ đối tượng bằng cách "dán" các cơ quan cùng đơn giản chiều lớn hơn. Phương pháp này đã được biết đến và đã được sử dụng thành công trong một thời gian dài. Tuy nhiên, nó không được biết đến đơn giản hóa mức độ nào có thể được thực hiện.

Bây giờ bạn biết những vấn đề nan giải tồn tại vào lúc này. Họ là đối tượng của hàng ngàn nhà khoa học trên thế giới. Người ta hy vọng rằng họ sẽ sớm được giải quyết, và ứng dụng thực tế của họ sẽ giúp loài người đạt được một vòng mới của sự phát triển công nghệ.