Quy tắc Cramer và ứng dụng của nó

quy tắc Cramer - là một trong những phương pháp chính xác để giải quyết hệ thống các phương trình đại số tuyến tính (Slough). độ chính xác của nó do việc sử dụng các yếu tố quyết định của ma trận hệ thống, cũng như một số các hạn chế áp dụng trong chứng minh định lý.

Một hệ phương trình đại số tuyến tính với hệ số thuộc, ví dụ, một đa số R - số thực của ẩn số x1, x2, ..., xn là một tập hợp các biểu thức

AI2 x1 + AI2 x2 + ... ain xn = bi với i = 1, 2, ..., m, (1)

nơi aij, bi - số thực. Mỗi một biểu thức được gọi là một phương trình tuyến tính, aij - hệ số của ẩn số, bi - hệ số phụ thuộc vào phương trình.

dung dịch (1) gọi vector n chiều x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), mà tại đó thay vào hệ thống cho ẩn số x1, x2, ..., xn, mỗi người trong số các dòng trong hệ thống trở nên phương trình tốt nhất .

Hệ thống này được gọi là phù hợp nếu nó có ít nhất một giải pháp, và không phù hợp, nếu nó trùng với bộ giải pháp của tập rỗng.

Nó phải được nhớ rằng để tìm ra giải pháp cho các hệ phương trình tuyến tính bằng cách sử dụng phương pháp Cramer, hệ thống ma trận phải vuông, mà về cơ bản có nghĩa là cùng một số ẩn số và phương trình trong hệ thống.

Vì vậy, để sử dụng phương pháp Cramer, bạn phải ít nhất là biết những gì Matrix là một hệ phương trình đại số tuyến tính, và nó được phát hành. Và thứ hai, để hiểu những gì được gọi là yếu tố quyết định của ma trận và kỹ năng riêng của mình tính toán.

Chúng ta hãy giả định rằng kiến thức này, bạn có. Tuyệt vời! Sau đó, bạn phải chỉ học thuộc lòng các công thức xác định phương pháp Kramer. Để đơn giản hóa ghi nhớ sử dụng các ký hiệu sau:

• Det - yếu tố quyết định chính của ma trận của hệ thống;

• děti - là yếu tố quyết định của ma trận thu được từ ma trận chính của hệ thống bằng cách thay thế cột thứ i của ma trận với một vector cột mà các phần tử là bên phải của phương trình đại số tuyến tính;

• n - số lượng ẩn số và phương trình trong hệ thống.

Sau đó tính toán quy tắc Cramer thứ i thành phần xi (i = 1, .. n) n chiều vector x có thể được viết như sau

xi = děti / Det, (2).

Trong trường hợp này, Det khác nhau chặt chẽ từ zero.

Sự độc đáo của các giải pháp của hệ thống khi nó phối hợp được cung cấp bởi các tình trạng bất bình đẳng trong những yếu tố quyết định chính của hệ thống để zero. Ngược lại, nếu tổng của (xi), bình phương, nghiêm chỉnh tích cực, sau đó tin bán một ma trận vuông là không khả thi. Điều này có thể xảy ra đặc biệt là khi có ít nhất một trong những khác không děti.

Ví dụ 1. Để giải quyết vấn hệ thống LAU ba chiều sử dụng công thức Cramer.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Quyết định. Chúng tôi ghi lại ma trận của dòng hệ thống bằng cách dòng, trong đó Ai - là hàng thứ i của ma trận.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Cột hệ số tự do b = (31 29 10).

Hệ thống chính là yếu tố quyết định Det
Det = a11 A22 a33 + a12 A23 a31 + a31 A21 A32 - A13 A22 a31 - a11 A32 A23 - A21 a33 a12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2-10 = -27.

Để tính toán hoán vị det1 sử dụng a11 = b1, A21 = b2, a31 = b3. sau đó
det1 = b1 A22 a33 + a12 A23 b3 + b2 a31 A32 - A13 A22 b3 - b1 A32 A23 - a33 a12 b2 = ... = -81.

Tương tự như vậy, để tính toán det2 sử dụng thay a12 = b1, A22 = b2, A32 = b3, và, theo đó, để tính toán det3 - A13 = b1, A23 = b2, a33 = b3.
Sau đó, bạn có thể kiểm tra det2 = -108, và det3 = - 135.
Theo các công thức Cramer tìm x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Trả lời: x ° = (3,4,5).

Dựa vào khả năng áp dụng quy tắc này, phương pháp của Kramer hệ phương trình tuyến tính giải quyết có thể được sử dụng gián tiếp, ví dụ, để điều tra về hệ thống về số lượng có thể các giải pháp tùy thuộc vào giá trị của một tham số k.

Ví dụ 2. Để xác định vào những gì giá trị của k bất bình đẳng tham số | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 có đúng một giải pháp.

Quyết định.
bất bình đẳng này, theo định nghĩa của hàm mô-đun có thể được thực hiện chỉ khi cả hai biểu thức là không cùng một lúc. Do đó, vấn đề này được giảm xuống còn tìm ra giải pháp của phương trình đại số tuyến tính

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Giải pháp cho hệ thống này chỉ khi nó là yếu tố quyết định chính của
Det = k ^ {2} + 1 là khác không. Rõ ràng là tình trạng này là hài lòng cho tất cả các giá trị thực của tham số k.

Trả lời: cho tất cả các giá trị thực của tham số k.

Mục đích của loại hình này cũng có thể được giảm nhiều vấn đề thực tế trong lĩnh vực toán học, vật lý hay hóa học.