Pendulum: thời gian và khả năng tăng tốc của công thức

Hệ thống cơ khí bao gồm một điểm vật chất (cơ thể), mà bị treo trên một sợi không được gia hạn không trọng lượng (khối lượng của nó là không đáng kể so với trọng lượng của cơ thể) trong một trường hấp dẫn thống nhất, được gọi là con lắc toán học (tên khác - bộ dao động). Có nhiều loại khác của các thiết bị. Thay vì một sợi que không trọng lượng có thể được sử dụng. Con lắc có thể tiết lộ rõ bản chất của nhiều hiện tượng thú vị. Khi rung động biên độ nhỏ về chuyển động của nó được gọi là hài hòa.

Thông tin chung về hệ thống cơ khí

Công thức của thời kỳ dao động của con lắc được lai tạo Huygens nhà khoa học Hà Lan (1629-1695 gg.). Đây đương đại của Isaac Newton đã rất ngây thơ của các hệ thống cơ khí. Năm 1656 ông đã tạo ra chiếc đồng hồ đầu tiên với một cơ chế lắc. Họ đo thời gian với độ chính xác cực đối với những người lần. Sáng chế này là một bước tiến quan trọng trong sự phát triển của các thí nghiệm vật lý và các hoạt động thực tiễn.

Nếu con lắc là ở một vị trí cân bằng (treo theo chiều dọc), các lực hấp dẫn sẽ được cân bằng bởi lực căng sợi. con lắc phẳng trên một sợi phi-căng ra là một hệ thống với hai bậc tự do thông tin liên lạc. Khi thay đổi chỉ là một phần của việc thay đổi các đặc điểm của tất cả các bộ phận của nó. Ví dụ, nếu một sợi được thay thế bằng một cây gậy, sau đó hệ thống cơ khí này là chỉ có 1 mức độ tự do. Vậy thì, các thuộc tính của một con lắc toán học? Trong hệ thống đơn giản này, dưới ảnh hưởng của một sự lo lang kỳ, hỗn loạn xuất hiện. Trong trường hợp đó, khi điểm treo là không di chuyển, và dao động con lắc có một vị trí cân bằng mới. Nếu biến động nhanh chóng lên xuống hệ thống cơ khí này trở thành chỗ đứng vững chắc "lộn ngược". Nó cũng có tên của nó. Nó được gọi là Kapitza con lắc.

Các đặc tính của con lắc

Con lắc có các đặc tính rất thú vị. Tất cả trong số họ được hỗ trợ bởi định luật vật lý nổi tiếng. Thời kỳ dao động của con lắc nào khác phụ thuộc vào hoàn cảnh khác nhau như kích thước và hình dạng của cơ thể, khoảng cách giữa các điểm của hệ thống treo và trung tâm của trọng lực, phân bố trọng lượng đối với thời điểm này với. Đó là lý do tại sao định nghĩa của giai đoạn treo cơ thể là khá khó khăn. Là dễ dàng hơn nhiều để tính toán khoảng thời gian của một con lắc đơn giản, công thức trong số đó là đưa ra dưới đây. Theo kết quả của quan sát những mô hình có thể được thiết lập trên hệ thống cơ khí tương tự:

• Nếu, trong khi duy trì cùng độ dài của con lắc, bị đình chỉ từ một loạt các tải, thời gian của dao động được giống nhau, mặc dù trọng lượng của họ sẽ khác nhau rất nhiều. Do đó, giai đoạn của con lắc không phụ thuộc vào trọng lượng của tải.

• Nếu hệ thống bắt đầu giảm trong con lắc là không quá lớn, nhưng góc độ khác nhau, nó sẽ dao động với cùng kỳ, nhưng biên độ khác nhau. Trong khi độ lệch từ trung tâm của sự cân bằng không phải là biến động quá lớn trong hình thức của họ sẽ được đóng đủ điều hòa. Thời gian của một con lắc như không phụ thuộc vào biên độ dao động. tài sản của hệ thống cơ khí này được gọi là isochronism (trong "chronos" Hy Lạp - thời gian "Izosov" - tương đương).

Thời gian của một con lắc đơn giản

Con số này đại diện cho giai đoạn tự nhiên của dao động. Mặc dù việc xây dựng phức tạp, quá trình đó lại rất đơn giản. Nếu chiều dài của sợi toán học con lắc L, và gia tốc trọng trường g, giá trị này là tương đương:

T = 2π√L / g

Giai đoạn nhỏ của dao động tự nhiên không có cách nào không phụ thuộc vào khối lượng của con lắc và biên độ dao động. Trong trường hợp này, như một con lắc toán học di chuyển làm giảm thời gian.

Dao động của con lắc toán học

con lắc dao động toán học, có thể được mô tả bởi một phương trình vi phân đơn giản:

x + ω2 sin x = 0,

trong đó x (t) - chức năng chưa biết (góc này của võng từ vị trí thấp hơn của trạng thái cân bằng tại thời điểm t trình bày bằng radian); ω - một hằng số dương tính được xác định từ các thông số của con lắc (ω = √g / L, trong đó g - gia tốc trọng, và L - chiều dài của một con lắc đơn giản (treo).

Phương trình dao động nhỏ gần vị trí cân bằng (phương trình hài hòa) như sau:

x + ω2 sin x = 0

chuyển động dao động của con lắc

Con lắc, mà làm cho dao động nhỏ, di chuyển hình sin. Thứ hai phương trình để khác biệt đáp ứng tất cả các yêu cầu và các thông số của một phong trào như vậy. Để xác định đường dẫn mà bạn cần phải thiết lập tốc độ và tọa độ, mà sau này xác định hằng số độc lập:

x = A sin (θ ₀ + ωt),

nơi θ ₀ - giai đoạn ban đầu, A - biên độ dao động, ω - tần số theo chu kỳ xác định từ phương trình của chuyển động.

Pendulum (công thức cho biên độ lớn)

hệ thống cơ khí này, thực hiện dao động của họ với một biên độ lớn, nó phản ánh pháp luật giao thông phức tạp hơn. họ được tính theo công thức cho một con lắc như vậy:

sin x / 2 = u * sn (ωt / u),

nơi sn - sin Jacobi, người cho u <1 là một hàm tuần hoàn, và cho u nhỏ nó trùng với sin lượng giác đơn giản. Giá trị của u được xác định bởi biểu thức sau đây:

u = (ε + ω2) / 2ω2,

nơi ε = E / ML2 (ML2 - năng lượng của con lắc).

Xác định thời kỳ dao động phi tuyến của con lắc theo công thức sau:

T = 2π / Ω,

nơi Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - elip không thể thiếu, π - 3,14.

phong trào con lắc của separatrix

Nó được gọi là separatrix quỹ đạo của hệ thống năng động, trong đó một không gian giai đoạn hai chiều. Con lắc di chuyển trên một tổ chức phi định kỳ. Trong thời điểm vô cùng xa của thời gian nó sẽ rơi xuống từ vị trí phía trên cực đối với một tốc độ không, và sau đó nó đang dần được. Cuối cùng, ông dừng lại, trở về vị trí ban đầu của nó.

Nếu biên độ dao động của con lắc tiếp cận pi số, người ta nói rằng sự chuyển động trong mặt phẳng pha là gần với separatrix. Trong trường hợp này, dưới tác động của một lực tuần hoàn nhỏ của hệ thống cơ khí thể hiện hành vi hỗn loạn.

Trong trường hợp của một con lắc đơn giản từ vị trí cân bằng với một cp góc xảy ra lực tiếp tuyến Fτ = -mg sin φ trọng lực. "Trừ" dấu hiệu có nghĩa là các thành phần tiếp tuyến đạo theo hướng ngược lại từ hướng lệch của con lắc. Khi đề cập qua con lắc dịch chuyển x dọc theo một vòng cung tròn với bán kính L bằng chuyển φ góc của nó = x / L. Định luật thứ hai Isaaka Nyutona, được thiết kế cho chiếu của vectơ gia tốc và sức mạnh cung cấp cho các giá trị mong muốn:

mg τ = Fτ = -mg sin x / L

Dựa trên tỷ lệ này, rõ ràng là con lắc là một hệ thống phi tuyến, như một lực lượng có xu hướng quay trở lại vị trí cân bằng của nó, không phải luôn luôn tỷ lệ thuận với sự dịch chuyển x, a sin x / L.

Chỉ khi nào con lắc toán học thực hiện những rung động nhỏ, nó là một dao động điều hòa. Nói cách khác, nó trở thành một hệ thống cơ khí có khả năng thực hiện dao động điều hòa. xấp xỉ này có giá trị gần như góc 15-20 °. Con lắc với biên độ lớn là không hài hòa.

pháp luật của Newton cho dao động nhỏ của một con lắc

Nếu hệ thống cơ khí thực hiện dao động nhỏ, luật 2 Newton sẽ trông như thế này:

mg τ = Fτ = -m * g / L * x.

Trên cơ sở này, chúng ta có thể kết luận rằng khả năng tăng tốc tiếp tuyến của một con lắc đơn giản là tỷ lệ thuận với dịch chuyển của nó với dấu "trừ". Đây là một tình trạng trong đó hệ thống sẽ trở thành một dao động điều hòa. Mô-đun yếu tố tương xứng giữa sự dịch chuyển và gia tốc bằng bình phương của tần số góc:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Công thức này phản ánh tần số tự nhiên của dao động nhỏ của con lắc kiểu này. Trên cơ sở này,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Tính toán dựa trên các định luật bảo toàn năng lượng

Thuộc tính dao động phong trào con lắc có thể được mô tả với sự giúp đỡ của các định luật bảo toàn năng lượng. Nên nhớ rằng thế năng của con lắc trong một trường hấp dẫn là:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Full năng lượng cơ học tương đương với khả năng động và tối đa: Epmax = Ekmsx = E

Sau khi bạn đã viết các định luật bảo toàn năng lượng, lấy đạo hàm của hai bên trái và phải của phương trình:

Ep + Ek = const

Kể từ khi đạo hàm của hằng số bằng 0, sau đó (Ep + Ek) '= 0. Đạo hàm của tổng bằng tổng các dẫn xuất:

Ep '= (mg / L * x2 / 2)' = mg / 2L * 2x * x '= mg / L * v + Ek' = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) '= m / 2 * 2v * v '= mv * α,

do đó:

Mg / L * xv + MVA = v (mg / L * x + m α) = 0.

Dựa trên công thức cuối cùng, chúng ta thấy: α = - g / L * x.

ứng dụng thực tế của con lắc toán học

Tăng tốc rơi tự do thay đổi theo vĩ độ, vì mật độ của lớp vỏ trên khắp hành tinh không giống nhau. Nơi đá xảy ra với mật độ cao, nó sẽ cao hơn một chút. Gia tốc của con lắc toán học thường được sử dụng để thăm dò. Trong cái nhìn sự giúp đỡ của nó đối với các khoáng chất khác nhau. Đơn giản chỉ cần đếm số lượng dao động của con lắc, nó có thể phát hiện các than hoặc quặng trong lòng của Trái Đất. Điều này là do thực tế là các nguồn lực này có mật độ và trọng lượng của hơn nằm bên dưới những tảng đá lỏng lẻo.

con lắc toán học được sử dụng bởi các học giả nổi tiếng như Socrates, Aristotle, Plato, Plutarch, Archimedes. Nhiều người trong số họ tin rằng các hệ thống cơ khí có thể ảnh hưởng đến số phận và cuộc sống. Archimedes sử dụng con lắc toán học với các tính toán của mình. Ngày nay, nhiều occultists và tâm linh học sử dụng hệ thống cơ khí này để thực hiện những lời tiên tri của mình, hoặc tìm kiếm người mất tích.

Các nhà thiên văn học nổi tiếng người Pháp và nhà khoa học, Flammarion cho nghiên cứu của họ cũng sử dụng một con lắc toán học. Ông khẳng định rằng với sự giúp đỡ của ông, ông đã có thể dự đoán sự phát hiện một hành tinh mới, sự xuất hiện của thiên thạch Tunguska, và các sự kiện quan trọng khác. Trong cuộc chiến tranh thế giới thứ hai ở Đức (Berlin) đã làm việc như một viện chuyên ngành của con lắc. Ngày nay, nghiên cứu này không phải là có sẵn Viện Munich Siêu tâm lý học. Tác phẩm của ông với con lắc các nhân viên của tổ chức này gọi là "radiesteziey".